Модели и методы нелинейного программирования

1. Постановка задачи нелинейного программирования

В задаче нелинейного программирования (НЛП) требуется найти значение многомерной переменной х=( ), минимизирующее целевую функцию f(x) при условиях, когда на переменную х наложены ограничения типа неравенств
, i=1,2,…,m (1)
а переменные , т.е. компоненты вектора х, неотрицательны:
(2)
Иногда в формулировке задачи ограничения (1) имеют противоположные знаки неравенств. Учитывая, однако, что если , то , всегда можно свести задачу к неравенствам одного знака. Если некоторые ограничения входят в задачу со знаком равенства, например , то их можно представить в виде пары неравенств , , сохранив тем самым типовую формулировку задачи.

2. Критерии оптимальности в задачах с ограничениями

Ряд инженерных задач связан с оптимизацией при наличии некоторого количества ограничений на управляемые пере¬менные. Такие ограничения существенно уменьшают размеры об¬ласти, в которой проводится поиск оптимума. На первый взгляд может показаться, что уменьшение размеров допустимой области должно упростить процедуру поиска оптимума. Между тем, напро¬тив, процесс оптимизации становится более сложным, поскольку установленные выше критерии оптимальности нельзя использовать при наличии ограничений. При этом может нарушаться даже ос¬новное условие, в соответствии с которым оптимум должен дости¬гаться в стационарной точке, характеризующейся нулевым гра¬диентом. Например, безусловный минимум функции имеет место в стационарной точке х=2. Но если задача минимиза¬ции решается с учетом ограничения , то будет найден условный минимум, которому соответствует точка x=4. Эта точка не является стационарной точкой функции f, так как (4)=4. Далее исследуются необходимые и достаточные условия оптимальности решений задач с ограничениями. Изложение начинается с рассмот¬рения задач оптимизации, которые содержат только ограничения в виде равенств.

2.1. Задачи с...