Теория устойчивости систем

1. Устойчивость в смысле Ляпунова

Под устойчивостью системы обычно понимают свойство системы автоматического ре-гулирования (САР) возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения дейст-вия внешнего возмущения. Полагая, что САР описывается системой обыкновенных диффе-ренциальных уравнений, рассмотрим устойчивость решения дифференциальных уравнений. Пусть поведение САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
,
где xi – переменные, характеризующие состояние системы. Запишем систему в векторном виде:

Введем в рассмотрение (n+1)-мерное пространство En+1, координатами в котором будут являться переменные t, x1, x2, …, xn. Будем рассматривать только такие системы, правые час-ти которых непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по зависимым переменным x1, x2, …, xn в некоторой выпуклой области G пространства En+1. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, то есть для любых начальных значений t0, x10, x20, …, xn0 существует и при том единственное решение xi=si(t, xi0¬), i=1, 2, …, n, удовлетворяющее начальным условиям si(t0, xi0¬)=xi0, i=1, 2, …, n. По-требуем бесконечной продолжаемости данного решения, то есть будем считать функции si(t) определенными для t0≤t≤, причем t0 можно считать равным ¥.
Рассмотрим некоторое решение xi=si(t) данной системы, определенное на интервале [t0,¥), причем si(t0)=xi0. Решение si(t), i=1, 2, …, n называется устойчивым по Ляпунову при t ¥, если для любого >0 существует такое >0, зависящее от e и t0, что любое решение xi=i(t), для которого при t=t0 выполняется неравенство
|ji(t0)–si(t0)|0 найдется такой момент времени t=t1, что для некоторого значения i=k будет выполняться неравенство
|jk(t1)–sk(t1)|e,
несмотря на то, что
|ji(t0)–si(t0)|0, что для любого решения ji(t), удовлетворяющего при t=t0 неравенству |ji(t0)–si(t0)|