Действия с приближенными величинами

Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задачи. Простейшие численные методы мы используем всюду,
например, извлекая квадратный корень на листке бумаги. Есть задачи, где без достаточно сложных численных методов не удалось бы получить
ответа; классический пример — открытие Нептуна по аномалиям движения Урана,
В современной физике таких задач много, Более того, часто требуется выполнить огромное число действий за короткое время, иначе ответ
будет не нужен. Например, суточный прогноз погоды должен быть вычислен за несколько часов; коррекцию траектории ракеты надо рассчитать
за несколько минут (напомним, что для расчета орбиты Нептуна Леверье потребовалось полгода); режим работы прокатного стана должен
исправляться за секунды. Это немыслимо без мощных ЭВМ, выполняющих тысячи или даже миллионы операций в секунду,
Современные численные методы и мощные ЭВМ дали возможность решать такие задачи, о 'которых полвека назад могли только мечтать. Но
применять численные методы далеко не просто, Цифровые ЭВМ умеют выполнять только арифметические действия и логические операции,
Поэтому помимо разработки математической модели, требуется еще разработка алгоритма, сводящего все вычисления к последовательности
арифметических и логических действий. Выбирать модель и алгоритм надо с учетом скорости и объема памяти ЭВМ: чересчур сложная модель
может оказаться машине не под силу, а слишком простая — не даст физической точности.
Сам алгоритм и программа для ЭВМ должны быть тщательно проверены. Даже проверка программы нелегка, о чем свидетельствует популярное
утверждение: «В любой сколь угодно малой программе есть по меньшей мере одна ошибка», Проверка алгоритма еще более трудна, ибо для
сложных алгоритмов не часто удается доказать сходимость классическими методами. Приходится использовать более или менее надежные
«экспериментальные» проверки, проводя пробные расчеты на ЭВМ и анализируя их[3].
Строгое математическое...

Ситуация, когда одну и ту же задачу можно решить многими способами, является довольно типичной. В таких случаях естественно возникает
необходимость сравнения их между собой[3].
При оценке эффективности численных методов существенное значение имеют различные свойства:
универсальность;
простота организации вычислительного процесса и контроля над точностью;
скорость сходимости.
Наиболее универсальным является метод деления пополам (дихотомии): он только требует непрерывности функции. Остальные методы
накладывают более сильные ограничения. Во многих случаях это преимущество метода вилки может оказаться существенным.
С точки зрения организации вычислительного процесса все виды численного нахождения корней уравнения очень просты. Однако и здесь метод
деления пополам обладает некоторым преимуществом. Вычисления можно начинать с любого отрезка [a, b], на концах которого непрерывная
функция f(x) принимает значения разных знаков. Процесс будет сходится к корню уравнения f(x)=0, причём на каждом шаге он даёт для корня
двустороннюю оценку, по которой легко определить достигнутую точность. Сходимость же метода итераций или касательных зависит от того,
насколько удачно выбрано нулевое приближение.
Наибольшей скоростью сходимости обладает метод касательных. В случае, когда подсчёт значений функции f(x) сложен и требует больших
затрат машинного времени, это преимущество становится определяющим. На вопрос о том, какой метод – метод итераций или дихотомия даёт
большую скорость сходимости, однозначно ответить нельзя. При методе дихотомии знаменатель геометрической прогрессии убывания
погрешности равен q=0.5, а при методе хорд он может принимать значения 0 Из вышесказанного следует, что ответ на вопрос о наилучшем численном методе решения уравнения не однозначен. Он существенно зависит
от того, какую дополнительную информацию о данной функции мы имеем, в соответствие с этим, каким свойствам метода придаём большее
значение.
При обосновании...