Контрольная по математике

Вариант 3

Задача 1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирами-ды A1(1, 1, 4), B1(2, 1, 2), C1(1, -1, 2), D1(6, -3, 8). Найдите:
а) длину ребра A1B1;
б) косинус угла между векторами ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов , и докажите, что они обра-зуют линейно независимую систему;
ж) координаты вектора , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1 соответст-венно;
з) разложение вектора по базису ,
Задача 2. Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы.
Задача 3. В упаковке 12 одинаковых книг. Известно, что каждая третья книга име-ет дефект обложки. Случайным образом выбирают 3 книги. Вычислите вероятность того, что среди них: а) все книги имеют дефект обложки;
б) только одна книга имеет этот дефект.
Задача 4. Два контролёра производят оценку качества выпускаемых изделий. Ве-роятность того, что очередное изделие попадет к первому контролеру, равна 0,55; ко вто-рому контролеру – 0,45. Первый контролёр выявляет дефект с вероятностью 0,8, а второй – с вероятностью 0,9. Вычислите вероятность того, что изделие с дефектом будет призна-но годным к эксплуатации.
Задача 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

X -2 -1 0 1 2 3 4
p 0,42 0,23 p 0,10 0,06 0,03 0,01

Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклоне-ние  данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функ-циональной зависимостью y = -2x + 1.
Задача 6. Известно, что в данном технологическом процессе 10% изделий имеют дефект. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий:
а) не будут иметь дефекта 342 изделия;
б) будут иметь дефект от 30 до 52 изделий.