Автоматизированное составление задач по линейной алгебре

Введение

Одной из наиболее трудоемких задач в курсе линейной алгебры является задача определения жордановой формы и жорданова базиса линейного преобразования. Для решения этой задачи следует выполнить следующие действия:
1. вычислить характеристический многочлен оператора А – det(А - λЕ);
2. найти корни λ1, λ2, …, λs характеристического многочлена, называемые также собственными значениями - задача сама по себе непростая, и для ее решения существуют лишь приближенные алгоритмы;
3. для каждого собственного значения вычислить соответствующие собственные вектора;
4. построить канонический (жорданов) базис;
5. в найденном базисе построить жорданову форму матрицы линейного оператора А.
Это лишь краткий план решения данной задачи. Для реализации каждого из пунктов этого плана существуют более подробные и трудоемкие алгоритмы.
Громоздкость таких вычислений затрудняет процесс составления подобного рода задач. Так в большинстве учебных материалов рассмотрены достаточно тривиальные случаи – матрицы небольшой размерности (обычно не более чем 5×5), имеющие определитель не превышающий 4. Сложность заключается еще и в том, чтобы составить задачи, трудность при решении которых будет состоять не в вычислениях, а только в реализации самого алгоритма решения.
В данной работе будет сформулирован алгоритм составления задач для нахождения жордановой формы и жорданова базиса линейного преобразования, а также представлена программа, работающая по этому алгоритму. При этом задачи будут составляться таким образом, чтобы в процессе их решения все вычисления были в целых числах.

В данной работе был сформулирован алгоритм составления целочисленных задач для нахождения жордановой формы и жорданова базиса линейного преобразования, а также представлена программа, работающая по этому алгоритму. Данная программа может быть использована в учебном процессе для составления преподавателем заданий для студентов в курсе линейной алгебры.
Более того, при разработке программы были так же реализованы и алгоритмы решения других задач линейной алгебры: нахождение обратной матрицы, перемножение матриц, нахождение жорданова базиса, собственных значений и собственных векторов, решение линейного диофантова уравнения первой степени с помощью многомерного алгоритма Евклида.