Численное интегрирование

Задача численного интегрирования

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
, (1)
где – заданная функция.
Для решения этой задачи на отрезке вводится сетка , и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
, (2)
где – значение функции в узлах x=xi, сi – весовые множители или веса, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора .
Формула (2) называется квадратурной формулой или квадратурой.
Задача численного интегрирования с помощью квадратур состоит в нахождении таких узлов {xi} и таких весов {ci}, для которых погрешность квадратурной формулы

была бы минимальна для функций из заданного класса (так как величина зависит от гладкости ).
Для удобства вычислений и вывода формул интеграл (1) обычно представляют в виде суммы интегралов вида

каждый из которых приводится к стандартному интегралу по отрезку единичной длины
(3)
с помощью замены

так, что

Если принять, что – равномерная сетка, то можно записать

Таким образом задача сводится к построению квадратурной формулы для интеграла (3) по единичному отрезку.

На основе методов трапеции, Симпсона, Монте-Карло, я реализовал программу для вычисления приближенных значений интегралов
,
.
Результаты по всем трем методам для каждой задачи сошлись с заданной точностью.