Построение нелинейного уравнения регрессии

При моделировании взаимосвязей на динамических рядах широко используются относительные величины, прежде индексы. Это объясняется большей их постоянством во времени по сравнению с абсолютными величинами. Кроме того, появляется возможность исключить мультиколинеарнисть и автокорреляции остатков. Описываются такие взаимосвязи степенной функцией

,

где bi - коэффициент эластичности, который показывает, на сколько% в среднем изменится в с изменением хи на 1% при условии неизменности других факторов. То есть коэффициент эластичности - это относительный эффект влияния i-го фактора на у.
Степенная функция линейная в логарифма, а потому параметры ее определяются МНК. Классическим примером такого типа нелинейной функции является производственная функции Кобба-Дугласа, описывающей соотношение между факторами и результатом производства на любом уровне экономической деятельности (фирма, отрасль, регион, экономика в целом):

Q = A Kα Lβ,

где Q - результат производства;
K - основной капитал;
L - трудовые затраты (количество занятых).

Параметры α и β - коэффициенты эластичности: α характеризует относительный прирост результата на единицу прироста капитала при L = const, а β - относительный прирост результата на единицу прироста трудовых затрат при К = const. Капитал и трудовые затраты рассматриваются как факторы экстенсивного развития (привлечение новых ресурсов). При трудоемком производстве α> β, при фондоемком - β> α. В производственной функции заложено условие, при котором (α + β) = 1, т.е. результат растет в такой же пропорции, как и факторы. Параметр А приводит масштаб (размерность) факторов с масштабом результата. При использовании индексов А = 1, а тренд результата, обусловленный действием других, неекстенсивних факторов, учитывается в модели переменной времени еλt. Модель приобретает вид:

Q = A Kα Lβ е λt,

где λ характеризует темп прироста функции за счет неекстенсивних...

В таблице приведены параметры макроэкономических функций трех индустриально развитых стран за период с 1950 по 1977 гг: Q - валовой национальный продукт; K - основные фонды, L - трудовые ресурсы.

Страна α β λ
США 0,447 0,553 1,34
Великобритания 0,506 0,494 0,53
Япония 0,397 0,603 4,66

По значениям параметров функции можно сделать выводы об особенностях экономического развития каждой из этих стран в послевоенные годы. Так, достижения НТП наиболее интенсивно внедрялись в экономике Японии: параметр λ выше по сравнению с США в 3,5 раза, по сравнению с Великобританией - в 9 раз. В то же время японская экономика характеризуется самой низкой капиталоемкостью (α = 0,397) и относительно высоким уровнем эффективности использования трудовых ресурсов (β = 0,603). Для американской экономики характерна сбалансированность соотношение эластичности по капиталу и труду. Среднегодовые темпы прироста в США в послевоенные годы составляли (в%): валового национального продукта - 3,38, основных фондов - 2,79, трудовых ресурсов - 1,46. Отсюда вклад факторов в формирование динамики ВНП:
экстенсивных d экс =
интенсивных d инт =.
На практике используют различные модификации производственной функции. Например, разделив обе ее части на L, получим функцию производительности труда:
W = AFα е λt,
где W - производительность труда;
F - фондовооруженность труда.
В темпах прироста эта функция записывается так:
w = α f + λ = α (k - l) + λ.
Вклад экстенсивных и интенсивных факторов в динамике производительности труда определяется аналогично:
d экс = α (k-l) / w;
d инт = λ / w.
К темпам прироста применяют классическую регрессию. В качестве примера рассмотрим связь между темпами прироста фондоозброености (VAR1) и производительности труда (VAR2) в одной из отраслей промышленности.

Показатель Цепные темпы прироста,%
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
VAR1 1,4 2,5 1,7 0,9 1,0 2,6 2,8
VAR2 2,6 2,7 2,8 1,5 1,8 2,4...