Парадоксы в математике

Парадокс в широком смысле — это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представля-ется «безусловно правильным». Само греческое слово, от которого произве-дено слово «парадокс», буквально означало «необычное, странное, невероят-ное, замечательное».
Парадокс в более узком и более современном значении — это два про-тивоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляю-щиеся убедительными аргументы.
Особое место занимают парадоксы в математике и логике, так как «чистая математика» — абстрактная наука, построенная на теориях, которые не кажутся очевидными с первого взгляда. Здесь их статус глубоких и карди-нальных проблем не подвергается сомнению. Тем более, что в математике, как ни в одной другой науке, особое внимание обращается на строгость и ло-гическую последовательность доказательств. При этом часто возникают си-туации, в которых рассуждения, применяющиеся совсем недавно и считаю-щиеся строгими, будут требовать дополнительного обоснования. Тогда ма-тематик просто излагает свои идеи в том виде, как они у него возникают. Од-нако часто возникает необходимость сделать выбор между методами изло-жения некорректными, но, быть может, плодотворными, и корректными, но позволяющими выразить мысль лишь в измененном виде и притом ценой значительных усилий. Ни тот, ни другой путь не свободен от опасностей. Первый путь ведет к возникновению и развитию новых теории и нового уровня абстракции, а, следовательно, и парадоксов, второй к «затуханию науки». Поэтому данная работа ставит перед собой цель рассмотреть понятие «парадоксов», их виды, а также проблемы парадоксов в математике и их значение для развития математической науки.

Таким образом:
 Парадокс в широком смысле — это утверждение, резко расходя-щееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется «безусловно правильным».
 Парадокс в более узком и более современном значении — это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеют-ся представляющиеся убедительными аргументы.
 Все парадоксы имеют одно общее свойство — самопримени-мость или циркулярность.
 Парадоксы возникают в науке там, где теория не описывает про-цессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных яв-лений ведет в свою очередь к возникновению новых теорий.
 Устранить парадокс из некоторой теории — значит перестроить ее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недо-казуемым.
 Решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с общими соображениями относительно природы логического до-казательства и другими логическими интуициями.
 Проблемы, связанные с парадоксами, относятся к разным типам и затрагивают все основные разделы логики и математики. Требу-ется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объясне-ние, углубляющее представления о логических закономерностях мышления.