Вычислительная математика

І. Задача 1.
а) Пользуясь обобщенной формулой средних прямоугольников вычислить значение интеграла разбивая отрезок интегрирования на N0 =5 равных частей и оценить остаточный член.
б) Пользуясь обобщенной формулой Симпсона вычислить значение интеграла с заданной точностью =0,5•10-8, исходя из указанного значения N0=5.
Задача 2.
Пользуясь методами Ейлера и Рунге-Кутта 4-го порядка точности на отрезке найти численное решение задачи Коши: , с шагами (где b=3, х0=2, N=10) и определить правильные цифры приближенных решений.
Задача 3.
Выделить корни данного уравнения 3х+5х-2=0. Уточнить один из выделенных корней уравнения комбинированным методом с точностью =0,5•10-7.
Задача 4.
Решить систему линейных уравнений методом итерации, где матрица А – коэффициенты при сменных, матрица В – свободные коэффициенты.
.

7. Метод итераций для системы линейных уравнений.
Пусть задана система линейных уравнений:
(7.1)
Введя к рассмотрению матрицы
, ,
систему (7.1) запишем в виде . (7.2)
Систему (7.2) называют системой нормального вида. Решим ее методом последовательных приближений. За начальное приближение возьмем столбец свободных членов, то есть .
Тогда последовательно находим . (7.3)
Если последовательность приближений имеет границу , то эта граница и будет решением системы (7.3). Таким образом, вектор
, (7.4)
является решением системы (7.2), а следовательно, и системы (7.1).
Метод последовательных приближений, который определяется формулой (7.3), называется методом простой итерации или просто методом итерации.
Если элементы матрицы удовлетворяют условиям:
1) ;
2) ; (7.5)
3) .
Теорема 1. Если матрица системы уравнений (7.2) удовлетворяет одному из условий (7.5), то система имеет единое решение (7.4), которое можно получить как границу последовательности (7.3), начиная с произвольного начального вектора .
Из общих оценок для погрешности п-го приближения методом последовательных приближений вытекают оценки для приближений, найденных методом итерации. Для этого надо подставить в формулы общих оценок выражения (7.5):
, .
Согласно теореме 1 легко вывести достаточные условия сходимости метода простой итерации для системы (7.1).
Теорема 2. Если элементы матрицы удовлетворяют одному из условий
(7.6)
то система уравнений (7.1) имеет единое решение х*, которое можно получить как границу последовательности , построенной по формуле , и=1,2,…,п; k=1,2,…, начиная с произвольного начального приближения .
Оценка скорости сходимости имеет вид
, где ....