Обчислювальна математика

І. Завдання 1.
а) За узагальненою формулою середніх прямокутників обчислити значення інтеграла за розбиттям відрізка інтегрування на N0 =5 рівних частин і оцінити залишковий член.
б) За узагальненою формулою Сімпсона обчислити значення інтеграла із заданою точністю =0,5•10-8, виходячи з указаного значення N0=5.
Завдання 2.
Користуючись методами Ейлера і Рунге-Кутта 4-го порядку точності на відрізку знайти чисельний розв’язок задачі Коші: , з кроками (де b=3, х0=2, N=10) та визначити правильні цифри наближених розв’язків.
Завдання 3.
Відокремити корені даного рівняння 3х+5х-2=0. Уточнити один з відокремлених коренів рівняння комбінованим методом з точністю =0,5•10-7.
Завдання 4.
Розв’язати систему лінійних рівнянь методом ітерації, де матриця А – коефіцієнти при змінних, матриця В – вільні коефіцієнти.
.

7. Метод ітерацій для системи лінійних рівнянь.
Нехай задано систему лінійних рівнянь:
(7.1)
Ввівши до розгляду матриці
, ,
систему (7.1) запишемо у вигляді . (7.2)
Систему (7.2) називають системою нормального виду.
Розв’яжемо її методом послідовних наближень. За початкове наближення візьмемо стовпець вільних членів, тобто .
Тоді послідовно знаходимо . (7.3)
Якщо послідовність наближень має границю , то ця границя і буде розв’язком системи (7.3). Таким чином, вектор
, (7.4)
є розв’язком системи (7.2), а отже, і системи (7.1).
Метод послідовних наближень, який визначається формулою (7.3), називається методом простої ітерації або просто методом ітерації.
Якщо елементи матриці задовольняють умовам:
1) ;
2) ; (7.5)
3) .
Теорема 1. Якщо матриця системи рівнянь (7.2) задовольняє одну з умов (7.5), то система має єдиний розв’язок (7.4), який можна дістати як границю послідовності (7.3), починаючи з довільного початкового вектора .
Із загальних оцінок для похибки п-го наближення методу послідовних наближень випливають оцінки для наближень, знайдених методом ітерації. Для цього треба підставити у формули загальних оцінок вирази (7.5):
, .
З теореми 1 легко дістати достатні умови збіжності методу простої ітерації для системи (7.1).
Теорема 2. Якщо елементи матриці задовольняють одну з умов
(7.6)
то система рівнянь (7.1) має єдиний розв’язок х*, який можна дістати як границю послідовності , побудованої за формулою , і=1,2,…,п; k=1,2,…, починаючи з довільного початкового наближення .
Оцінка швидкості збіжності має вигляд
, де .
Теореми 1 і 2 дають достатні умови збіжності і невиконання умов цих теорем ще не...