Динамическая задача управления запасами на бесконечном плановом периоде

Многие задачи оптимального планирования и управления (управление запасами, распределение ресурсов) могут быть представлены в виде некоторой сетевой модели, в которой каждому состоянию системы соответствует некоторая вершина сети, и задача оптимального планирования интерпретируется как задача нахождения кратчайшего маршрута в сети.
Рассмотрим для примера некоторую сеть, включающую вершин и

Рис. 1.

множество ориентирующих дуг, которые соединяют вершины между собой (см. рис.1.). Поставим в соответствие каждой допустимой стратегии в состоянии дугу . Перемещению по каждой дуге соответствует некоторый эффект (затраты) , причем примем, что время перемещения из в равно коэффициенту дисконтирования .
Пусть маршрут начинается в некоторой произвольно выбранной вершине . Предположим, что из вершины мы направляемся в вершину , причем дисконтированные затраты . Если процесс продолжается неограниченное время, маршрут является бесконечным. Обозначим через -- интегральные дисконтированные затраты (ИДЗ) для оптимального бесконечного маршрута, который начинается в вершине . Если принятая стратегия является стационарной, то каждый раз, возвратившись к вершине , мы снова выбираем ту же дугу, которая была выбрана при предыдущем заходе в эту вершину.
Пусть существует стационарная стратегия, которая является оптимальной, тогда соответствующая величина ИДЗ удовлетворяют следующей системе функциональных уравнений:

для всех вершин . (1.1)

1.Зайченко Ю. П., Шумилова С.А. Исследование операций: Сборник задач. – К.: Вища школа, 1986. – 216 с.
2.Зайченко Ю. П. Исследование операций – 3-е изд., прераб. и доп. – К.: Вища школа, 1988. – 552 с.