задачи

Расчет коэффициентов множественной линейной регрессии

Данные наблюдений и соответствующие коэффициенты в матричной форме выглядят следующим образом:

.

Здесь -мерный вектор-столбец наблюдений зависимой переменной ; – матрица размерности , в которой -тая строка представляет наблюдение вектора значений независимых переменных ; единица соответствует переменной при свободном члене ; – вектор-столбец размерности параметров уравнения регрессии; – вектор-столбец размерности отклонений выборочных (реальных) значений зависимой переменной от значений , получаемых по уравнению регрессии
. (10)
Функция в матричной форме представима как произведение вектор-строки на вектор-столбец . Вектор-столбец может быть в свою очередь представлен в следующем виде:
. (11)
Отсюда:

Здесь – векторы и матрицы, транспонированные к соответственно. При выводе формулы использовались следующие известные соотношения линейной алгебры:

Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю ее частных производных по всем параметрам . Вектор-столбец частных производных в матричном виде выглядит следующим образом:
. (12)
Рассмотрим более подробно нахождение . Очевидно, что
.
от не зависит, следовательно, .
Обозначим вектор-столбец размерности через . Тогда , где – соответствующий элемент вектора . Поэтому .
Обозначим матрицу размерности через . Тогда
.
Следовательно, частная производная .
В результате имеем .
Следовательно, формула (12) справедлива. Приравняв к нулю, получаем:

нет