Численные методы решения систем дифференциальных уравнений

ВВЕДЕНИЕ
Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения прак-тических задач: измерений на местности, навигации и т.д. Вследствие этого ма-тематика была численной математикой, ее целью являлось получение решения в виде числа.
Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изуче-ния явлений природы, получение их математического описания, как иногда го-ворят, математической модели явления, и его исследование. Анализ усложнен-ных моделей потребовал создания специальных, как правило, численных или асимптотических методов решения задач. Названия некоторых из таких мето-дов – методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Эрмита, Крылова – свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые своего времени.
Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее задачи вычисления однократных интегралов, и доля задач, интегрируемых в явном виде, здесь существенно меньше.
Когда говорят об интегрируемости в явном виде, имеют в виду, что ре-шение может быть вычислено при помощи конечного числа «элементарных» операций: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования, вычисления синуса и косинуса и т.п. Уже в период, предшествовавший появлению ЭВМ, понятия «элементарной» опера-ции претерпели изменение. Решения некоторых частных задач настолько часто встречаются в приложения, что пришлось составить таблицы их значений, в ча-стности таблицы интегралов Френеля, функций Бесселя и ряда других, так на-зываемых специальных функций. При наличии таких таблиц исчезает принци-пиальная разница между вычислением функций , … и специальных функций. В том и другом случаях можно вычислять значения этих функций при помощи таблицы, и те и другие функции можно вычислять, приближая их мно-гочленами, рациональными дробями и т.д. Таким образом, в класс задач, интег-рируемых в явном виде, включились задачи, решения...

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.- 632с.
2. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1982.
3. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные мето-ды. Т.1. – М.: Наука, 1976.
4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные мето-ды. Т.2. – М.: Наука, 1977.
5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычисли-тельных методов. Дифференциальные уравнения. – Минск: Наука и техника, 1982.
6. Лебедев В.И. Как решать явными методами жесткие системы диффе-ренциальных уравнений // Вычислительные процессы и системы. – М.: Наука, 1991, вып. 8 С. 237-291.
7. Локуциевский О.В., Гавриков М.Б. Начало численного анализа.- М.: ТОО «Янус», 1995.
8. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1980.
9. Турчак Л.И. Основы численных методов: Уч. Пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-320с.