Математические модели экономических систем (вариант 1)

ВАРИАНТ 1

Задание 1. Составить математическую модель однопродуктовой фирмы и сформулировать задачу принятия решения. При этом заданы: функция полных затрат фирмы C(Q)=2Q2+8Q+100 и спроса на произведенный фирмой продукт P(Q)=108–8Q.

Построить графики полных затрат, предельных и средних затрат фирмы.

Построить графики дохода, предельного и среднего дохода фирмы.

Определить объем безубыточного производства. Построить графики полных затрат, дохода и прибыли фирмы.

Определить объем оптимального выпуска. Построить графики прибыли, предельных затрат и предельного дохода фирмы.

Решение:

По условию известно, что функция полных затрат фирмы C(Q)=2Q2+8Q+100. Ее график имеет вид (см. рис. 1).



Рис. 1. – функция полных затрат фирмы C(Q)

Найдем вид функции средних затрат фирмы АС(Q)=(2Q2+8Q+100)/Q на единицу продукции и вид функции предельных затрат MC(Q)=(2Q2+8Q+100)’=4Q+8 как приращение общих затрат при увеличении выпуска на единицу. Построим график данных функций (см. рис. 2 и 3).





Рис. 2. – функция средних затрат, AC(Q)



Рис. 3. – функция предельных затрат, MC(Q)





Рис. 4.



Найдем точку пересечения графиков функций AC(Q) и MC(Q), для этого решим уравнение, если



Так же стоит отметить, что графики функций предельных и средних издержек всегда пересекаются в точки минимума последнего, т.е., для нашей задачи, в точке с координатами .

Выручка фирмы от продаж Q единиц продукции называется доходом фирмы R(Q), R(Q)=P(Q)*Q=108Q–8Q2, где P(Q)=108–8Q – зависимость цены Р от объема продукции. Зная, что средний доход АR(Q)= R(Q)/Q=108–8Q и предельный доход МR(Q)=R(Q)’=((108–8Q)*Q)’=(108Q–8Q2)’=108–16Q, можно построить графики указанных функций (см. рис. 5).





Рис. 5. – функции предельного MR(Q), среднего AR(Q) доходов

и дохода R(Q)



График функции R=R(Q) в рассматриваемой задаче представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Корнями функции R=R(Q), при R(Q)=0 являются: Q1=0 и Q2=13,5. Максимум функции достигается при Qв=6,75, причем...