вычисления собственных чисел и собственных функций возмущенных операторов

Введение



Вычисление собственных чисел и собственных функций операторов не перестаёт быть актуальным, во-первых потому что общего (единого) алгоритма их вычисления нет, а во-вторых потому что эти числа имеют большую значимость в задачах прикладного характера.

В связи с этим целью исследования является нахождение и обоснование алгоритмов вычисления собственных чисел и собственных функций. При этом можно сформулировать задачу работы как задачу определения собственных чисел и собственных функций не на основе теории возмущений, а на основе применения численных методов решения дифференциальных уравнений.

В теории возмущений для определения собственных чисел и собственных функций возмущенного оператора С=А+*В используется разложение этих величин (собственных чисел и собственных функций ) в ряды по степеням *, и при этом применение данной теории ограничивается достаточно малыми значениями *. В данной работе рассматривается подход, обеспечивающий приближенное вычисление первых собственных чисел и собственных функций как решения дифференциальных уравнений первого порядка, в которых производная берётся по *. Однако решения дифференциальных уравнений находятся не точно, а с использованием групп методов Рунге-Кутта, в частности метода Эйлера.

Впервые данный подход был рассмотрен академиком А.А.Дороднициным в пятидесятых годах двадцатого века для конечномерного оператора. А.А.Дородницин в статье [] высказал предположение об обобщении рассматриваемого подхода на случай бесконечномерных самосопряженных операторов, вопрос о сходимости для которых подлежит специальному рассмотрению.

Новизна работы заключается в обобщении результатов А.А.Дородницина на бесконечномерный случай и обосновании сходимости решений полученных дифференциальных уравнений к искомым собственным числам и собственным функциям возмущенного оператора.

В работе используется сквозная нумерация формул, лемм и теорем.

1.Воробьёва Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: 1990.

2.Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. - М.: 1963.

3.Дородницин А. А. Избранные научные труды. Т. 1. - М.: РАН. Вычислительный центр, 1997.

4.Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976.

5.Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. - М.: Высшая школа, 1973.

6.Никольский С. М. Курс математического анализа. - М.: Наука, 1975.

7.Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975.

8.Садовничий В. А. Теория операторов. Учебник для вузов. - 3-е изд., стер. - М..: Высш. шк., 1999.