Решение уравнений с одной переменной (Pascal).

4. Метод итераций

Функция находит корень уравнения x = F(x) методом простой итерации с относительной погрешностью e. По i-му приближению корня xi находится следующие приближение по формуле xi+1 = F(xi ), i = 0, 1, 2, ... . Процесс продолжается до тех пор, пока относительная точность для двух последовательных приближений не станет меньше e: |(xi+1 -xi )/xi | e. Процесс итерации сходится на [a, b], если |F(x)| 1 при всех x на (a,b).







Рисунок 4. Алгоритм метода итераций



Описание алгоритма метода итераций



Шаг 1. Ввод a,b,ε. x1=a, x2=b.

Шаг 2. x:=f(x)

Шаг 3. Выполнять шаг 2, пока abs(f(x)-x)eps

Шаг 4. Вывод результата – x, числа итераций - i.



5. Метод Ньютона

Действительный корень x уравнения F(x) = 0 вычисляется методом Ньютона по итерационному уравнению:

xk+1 = xk -F(xk )/F(xk )

Процесс сходится к точному значению корня, если начальное приближение x1 выбрано так, что

|F(x1 )F(x1 )| |F(x1 )| 2

Оценка погрешности k-го приближения производится по приближенной формуле

|F(xk )F(xk )| e



Рисунок 5. Алгоритм метода Ньютона



Описание алгоритма метода Ньютона



Шаг 1. Ввод a,b,ε.

Шаг 2. x=a; f:=f(x)/df(x)

Шаг 3. Если abs(f)e, то х=x-f; f=f(x)/df(x) преход к шагу 3

Шаг 4. Вывод результата – x.





6. Комбинированный метод

Если вычисление производной в методе Ньютона затруднено, можно заменить ее вычисление оценкой: F(x)= (F(x+h)-F(x))/h.





Рисунок 6. Алгоритм комбинированного метода



Описание алгоритма комбинированного метода



Шаг 1. Ввод a,b,ε,h.

Шаг 2. x=a; y:=f(x)*h/f(x+h)

Шаг 3. Если abs(y)e, то х=x-y; f=f(x)*h/(f(x+h)-y) преход к шагу 3

Шаг 4. Вывод результата – x.

Рисунок 3. Алгоритм метода хорд

Описание алгоритма метода хорд



Шаг 1. Ввод a,b,ε. x1=a, x2=b.

Шаг 2. x3:=x2-f(x2)(x2-x1)/(f(x2)-f(x1)); x1=x2; x2=x3;

Шаг 3. Выполнять шаг 2, пока abs(x1-x2)eps

Шаг 4. x=x2

Шаг 5. Вывод результата – x.