Решение дифференциально-алгебраической системы уравнений

Введение 3

1. Методы решения ДАУ 4

1.1. Метод пространства состояний 4

1.2. Метод ε-вложения 4

1.3. Системы ДАУ высших индексов 5

2. Решение системы ДАУ средствами MATHCAD 7

2.1. Задание состояния системы 8

2.2. Стационарное состояние системы 12

2.3. Динамика системы при изменении параметров системы 14

Заключение 21

Список использованной литературы 22





Введение

Под системой дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) понимается система, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений и недифференциальных соотношений. К решению систем ДАУ сводятся многие задачи механики, кинетики химических реакций, теории управления.

В настоящее время данной проблеме посвящено множество работ, а также разработано множество программ, в которых реализованы различные алгоритмы решения систем ДАУ. Например, в работе [1] описана программа GEAR, осуществляющая численное интегрирование при помощи формул дифференцирования назад; в работе [2] описывается программа LSODI, предназначенная для решения неявных систем ДАУ.

Но, тем не менее, несмотря на значительные успехи в данной области, разработанные методы не ликвидируют многие трудности решения систем ДАУ по сравнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

-начальные условия должны быть согласованы с недифференциальными соотношениями;

- система линейных уравнений, решаемая на каждом шаге интегрирования, плохо обусловлена для мелких шагов;

- ошибка метода чувствительна к несогласованности в начальных условиях и к резкому изменению решения;

-численное решение в большей степени зависит от точности аппроксимации, чем для ОДУ.

Целью данной работы является изучение существующих методов решения ДАУ, а также способов их решения с использованием современных программных продуктов.