Улучшение значения постоянной, фигурирующей в прилагаемой теореме.

ВВЕДЕНИЕ
Целью предлагаемой работы является уточнение одного результата В.И. Буслаева опубликованного в статье «Оценка производной многочлена с вещественными коэффициентами», Известия АН СССР, серия математическая, Том 39, № 2, 1975.
В этой статье была доказана следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Пусть многочлен Р(х) представляется в виде
P(x) = Q(x)R(x),где
— вещественный многочлен такой, что (i = 1, ... , q), a R(x) — произвольный многочлен степени r. Тогда
где , С — абсолютная константа.
В данной работе излагается подробное доказательство этой теоремы и указывается конкретная константа С, значение которой непосредственно вытекает из доказательства В.И. Буслаева.
Далее, с помощью леммы 4 эта константа уточняется (в сторону уменьшения).
1. Подробное доказательство теоремы
Так как Q (х) — многочлен с вещественными коэффициентами, то
— вещественное число. Действительно, тот факт, что Q (х) — многочлен с вещественными коэффициентами означает, что его комплексные корни могут быть лишь парами комплексно сопряженных корней . Но тогда - вещественное число. Будем предполагать, что это число неотрицательное. Это предположение не нарушает общности рассуждений, так как, от случая, когда , можно избавиться, сделав замену переменного y = - x
Введем обозначения:

Литература
1. Бернштейн С. Н., Собр. срч., т. I, М, Изд-во АН СССР, 1952.
2. Буслаев В. И. и Витушкин А. Г., Оценка длины кода сигналов с конечным спектром в связи с задачами звукозаписи, Изв. АН СССР. Сер. матем., 38 (1974), 867—895.
3. Марков А. А., Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций наименее уклоняющихся от нуля, М.— «П., ОГИЗ, 194, 12 Серия математическая, № 2