Многопроцессорная реализация одного итерационного метода для систем с распределенной памятью

В настоящее время одним из широко применяемых методов научного исследования является математическое моделирование. Общий подход к задачам математического моделирования состоит из описания процесса или явления в математических терминах, в виде тех или иных уравнений или сис-тем уравнений. В дальнейшем изучение осуществляется путем решения этих уравнений и последующего анализа решения. К сожалению, большинство реальных ситуаций не допускают своего аналитического разрешения или они разрешимы в крайне упрощенных случаях. В то же время развитие средств вычислительной техники и методов численного решения позволяет исследовать математические модели путем вычислительного эксперимента.
Использование численных методов на пятиточечных, семиточечных или девятиточечных разностных схемах приводит к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) больших порядков, что влечет за собой большие затраты вычислительных ресурсов. В связи с этим требуется разработка эффективных алгоритмов и высокопроизводительных вычислительных систем. Широко известны следующие итерационные методы для СЛАУ: минимальных невязок, наискорейшего спуска, верхней релаксации, попеременно-треугольный и итерационные методы вариационного типа. Наибольшей скоростью сходимости обладает модифицированный попеременно-треугольный метод [1]. В то же время итерационные методы используют на каждом временном шаге априорную информацию о границах спектра разностного оператора. Методы вариационного типа такой информации не требуют, однако обладают меньшей скоростью сходимости. В работе [2] для решения двухмерных разностных уравнений предложен «α-β»-итерационный метод, не требующий априорной информации о разностном операторе, мало чувствительный к сильным изменениям коэффициентов разностной схемы и обладающий высокой скоростью сходимости по сравнению с остальными методами, не требующими вычисления границ спектра.
Однако, независимо от метода решения, время вычислений заметно возрастает при...

Задачи математического моделирования требуют больших вычислительных затрат. Эффективно увеличить производительность вычислительной системы можно только путем увеличения числа вычислительных единиц. Однако это требует модификации исходного алгоритма с учетом новой специфики системы. Для рекурсивных алгоритмов реализация параллельного алгоритма затруднена, в особенности для систем с распределенной памятью. Но даже в этом случае использование многопроцессорной системы может уменьшить время решения задачи в разы, в особенности для больших задач. В данной работе был реализован многопроцессорный варианта для «α-β»-итерационного метода, основу которого составляют рекуррентные вычисле-ния, проведена теоретическая оценка для ускорения и эффективности парал-лельной реализации. Практические результаты исследования показывают, что даже в случае сложного итерационного алгоритма можно получить за-метный выигрыш в скорости вычислений за счет использования многопро-цессорных систем.