Математическое моделирование физического процесса с использованием системы Mathematica

Формулировка физической задачи

Описание физической задачи. Серебряная струна, закрепленная в точках x = 0, x = L, в момент времени t = 0 имеет форму, заданную функцией , где U(x,t) – отклонение струны от положения равновесия в любой момент времени в точке х. Струна начинает колебаться с начальной скоростью .
Требуется найти смещение произвольной точки струны с абсциссой х в любой момент времени 0.
Исходные данные: L = 3; ε = 0,01.
Задание на исследование. Провести сравнение точных решений данной задачи для 3-х материалов с различными упругими свойствами.

В результате курсовой работы была построена математическая модель, описывающая процесс колебания струны с условиями поставленной задачи, методом Фурье было найдено точное решение – функция колебания струны, была доказана достоверность этого решения, были построены геометрические иллюстрации полученного методом Фурье решения, найдены количество s членов ряда Фурье, обеспечивающее заданную точность ε, параметры а (коэффициент, зависящий от материала струны), Т (длина отрезка времени, в котором проводилось решение задачи). Также было получено приближенное решение методом конечных разностей в виде таблицы значений функции в узлах сетки, покрывающей область распределения, для заданного материала струны – серебра, были построены таблицы значений точного и приближенного решения задачи, сделано их сравнение и вычислена наибольшая абсолютная погрешность приближенного решения задачи.
Исследование процесса колебания струны проводилось сравнением значений функции, найденных методом Фурье, при различных значениях коэффициента а, который зависит от упругих свойств материала. Рассматривались три материала струны – алюминий, медь и свинец. В результате исследования сделан вывод, что значения функции в зависимости от уменьшения или увеличения коэффициента а меняют координату временной оси – с уменьшением коэффициента а длина отрезка времени, за который решается задача, увеличивается.