Равносоставленные фигуры

В августе 1900 года в Париже прошел II Международный математический конгресс. Памятным стало выступление на этом конгрессе профессора Геттин-генского университета Давида Гильберта1. В своем докладе он указал 23 важ-нейшие проблемы, требующие разрешения. Уже в 1901 году молодым немец-ким математиком Максом Деном2 была решена третья проблема, которую мож-но сформулировать следующим образом.
Третья проблема Гильберта. Можно ли любые два равновеликих мно-гогранника разложить на конгруэнтные многогранники?
Аналогичный вопрос о равносоставленности равных по площади много-угольников был решен в 1832 году Фаркашем Бойяи3 и в 1833 – Гервином4.
Сложное и громоздкое доказательство Дена было упрощено и обобщено В.Ф. Каганом5 в 1903 году.
В данной работе приводятся решения плоской и пространственной про-блем.
____________________________________________________________________
1Д. Гильберт (1862-1943) – немецкий математик. Основные исследова-ния относятся к теории инвариантов, теории интегральных уравнений, вариа-ционному исчислению, математической физике, логике. Дал полную систему аксиом евклидовой геометрии.
2М. Ден (1878-1952) – немецкий математик, ученик Гильберта. Эмигри-ровал в США в 1939 году. Основные исследования относятся к геометрии, то-пологии и теории групп.
3Ф. Бойяи (1775-1856) – венгерский математик. Окончил Геттингенский университет (1799). В 1804-1851 – профессор математики, физики и химии в Марош-Вашархеле. В 1833 написал учебник ''Опыт введения учащегося юно-шества в начала чистой математики''.
4П. Гервин (XIX век) – австрийский офицер, любитель математики.
5В. Ф. Каган (1869-1953) – профессор МГУ.
Равновеликие фигуры – это плоские (пространственные) фигуры одина-ковой площади (объёма). Равносоставленные фигуры – фигуры, которые мож-но разрезать на одинаковое число соответственно конгруэнтных (равных) час-тей. Обычно понятие равносоставленности применяется только к многоуголь-никам и...

Данная курсовая работа посвящена вопросу равносоставленности фигур. В ходе выполнения работы были сделаны некоторые выводы.
Из свойств площади и объема следует, что равносоставленные фигуры равновелики. Было выяснено, что обратное утверждение не имеет смысла. Но есть класс фигур, для которых оно верно. Прежде всего это класс многоуголь-ных фигур. Это доказала теорема Бойяи-Гервина.
Для многогранников, результат, аналогичный теореме Бойяи-Гервина не имеет смысла и в этом причина того, что, начиная с древнегреческого геометра Евдокса Книдского (ок. 406-ок. 355 лет до н.э.), для выяснения объема пирами-ды приходилось применять сложные методы, связанные с предельным перехо-дом и, по существу, сходные с интегральным исчислением.
Вопрос о том, равносоставлены ли равновеликие многогранники, был включен в число 23 проблем Гильберта.
В 1901 году ученик Гильберта Макс Ден доказал, что правильный тетра-эдр не равносоставлен с равновеликим ему кубом. Оказалось, что вопрос о рав-носоставленности равновеликих многогранников решается не так, как для мно-гоугольников.
Ден получил некоторые необходимые условия, которым должны удовле-творять равносоставленные многогранники. Куб и равновеликий правильный тетраэдр не удовлетворяют этим условиям, поэтому они не равносоставлены.
В 1965 году французский математик Т.П. Сидлер установил, что условия Дена не только необходимы, но и достаточны для равносоставленности много-гранников. Тем самым проблема равносоставленности многогранников теперь решена полностью.
Навыки, развиваемые в процессе решения задач на разрезание и склады-вание фигур, в основе которых лежит старинная задача о равновеликости и равносоставленности фигур, одинаково полезны как теоретику, так и практику; в отдельных случаях они могут открыть перед нами путь в науку.