Метод вращения Якоби решения симметрически полной проблемы собственных значений

Теоретическое описание метода.

Определение: Матрицы А и В называются подобными, если выполняется следующее условие: В=С-1АС , матрица С является невырожденной

Свойство 1: Пусть {λ,х} – собственная пара матрицы В= С-1АС , тогда {λ,Сх} – собственная пара матрицы А.

Свойство 2: Пусть А – n-мерная матрица простой структуры (имеет точно n независимых собственных векторов, т.е. базис), а матрица Т– диагональная, состоящая из собственных чисел; X=(x1,…,xn) – вектор-столбец из собственных векторов. Тогда Т= X -1А X.
Используя свойство 1, формулировку можно записать так: Если {λi,ei} – соб-ственные пары матрицы Т= X -1А X , то {λi,ei} собственные пары матрицы А.

Описываемый метод применим к симметрическим вещественным матрицам, для этих матриц существует полная ортонормированная система собственных векторов, таким образом матрица Х является ортогональной:
X -1= XT
Далее запишем свойство 2, для симметрической матрицы А, с учетом вышеописанного факта:
Т= XT А X
т.е. для всякой симметричной матрицы А найдется диагональная матрица Т ей подобная.
Реализация этого соотношения является очень удобной с практической точки зрения, так как позволяет сразу определить все собственные числа и собственные векторы.
Сразу же оговоримся, что полученные значения будут приближенными.
Один из способов нахождения собственных пар при помощи данного соотношения состоит в последовательном применении к матрице А однотипных преобразований, удовлетворяющих свойству 1 и в пределе ведущих матрицу А к диагональному виду.

Для этого воспользуемся преобразованиями с помощью матрицы плоских вращений(суть этого названия будет раскрыта ниже):
i столбец j столбец

i строка
Tij=
j строка

Она получается из единичной матрицы при помощи замены двух единиц и двух нулей на пересечениях i-x и j-x строк и столбцов числами c и ±s так, как показано выше и удовлетворяющих соотношению:
c2+s2=1
что позволяет...