Неопределенный интеграл

ЛЕММА О ФУНКЦИЯХ, ИМЕЮЩИХ ОДИНАКОВУЮ ПРОИЗ-ВОДНУЮ НА ИНТЕРВАЛЕ. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА, ЕГО СВОЙСТВА. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы равна функции f(x), т.e. F'(x)=f(x).
Восстановление функции по известной производной этой функции - одна из основных задач интегрального исчисления.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F'(x)=f(x).
Примеры.
1. Функция F(x)=sin(x) является первообразной для функции f(x)=cos(x) на всей числовой прямой, так как при любом значении х (sin)' =cos(x).
2. Функция F(x)=x3 - первообразная для функции f(x)=3x2 на всей числовой прямой, ибо в каждой точке х(х3)' = 3х2
3. Функция - первообразная для функции на интервале (-1,+1), так как в любой точке х этого интервала
Задача отыскания по данной функции f(x) ее первообразной решается неоднозначно. Если F(x) - первообразная для f(x), т.е. F'(x) = f(x), то функция F(x)+C, где С - произвольная постоянная, также является первообразной для f(x), так как |F(x)+C|'=f(x) для любого числа С.
Теперь покажем, что множество функций F(x)+C, где F(x) - некоторая первообразная для функции f(x), а С - произвольная постоянная исчерпывает все первообразные для f(x).

Математический анализ является одной из базовых дисциплин. Математические методы исследования играют огромную роль в естествознании. Математика неустанно продолжает развиваться и находит все новые и новые области своего применения. Развитие математики в целом определяет уровень ее приложений и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники. Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественный соотношения и пространственные формы реального мира. Точность математики означает, что методом исследования в математике являются строгие логические рассуждения, а результаты исследования формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются логические модели, построенные для описания и исследования того или иного явления. В этих моделях математика изучает соотношение между их элементами, количе-ственные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать свойства очень далеких друг от друга по своему физическому содержанию реальных процессов. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. С абстрактностью математики связана, с одной стороны, определенная трудность ее усвоения, а с другой - ее сила, универсализм и общность. Умение логически мыслить, владение математическим аппаратом, правильное использование математических методов дают большую экономию мышления, дают в руки человека мощный метод исследования.

В настоящее время математическим анализом называют, часть математики, которая изучает дифференциальное и интегральное исчисление, которое было развито нем. Математиком Г. Лейбницем (1646 -1716) и англ. математиком И. Ньютоном (1643 - 1727). Эти открытия в огромной степени создали возможность как для собственного развития, так и для развития других наук, таких, как физика и астрономия. Сила математики способна создавать все более высокие абстракции. Математические методы можно применять в самых различных науках. Огромным успехом является применение математических методов в науках о неживой природе, а так же в исследованиях в области биологии, но самым значительным достижением было введение математических методов в экономику.
Неопределенный интеграл - это один из разделов высшей математики. Изучение этого раздела позволяет развить человеку абстракционное мышление. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Неопределенный интеграл имеет свои основные свойства.
Существует таблица основных интегралов, с помощью которых можно ре-шить математические примеры. Техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием, стоит ответить, если дифференцирование не выводит из класса электронных функций, то при интегрировании дело обстоит иначе. Существуют такие элементарные функции, первообразные которых не являются элементарными функциями. Такие первообразные не только существуют, но и играют большую роль как в самом математическом анализе, так и в его приложениях. Они хорошо изучены, для них составлены таблицы, графики, помогающие их практическому использованию.
Жизнь современного человека невозможна без математики. Сегодня никакая серьезная научная инженерная работа не возможна без вмешательства этой науки. Изучение математики способствует формированию современного научного мышления, а ее широкое использование является условием для дальнейшего процесса на пути развития науки и техники.