Фурье анализ и синтез периодических функций

Аналитические методы, развитые Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 - 1830), сыграли важную роль в развитии прикладной математики. Особенно важны они для трех приложений:
• для изучения периодических решений физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями в частных производных, например, для изучения волновых колебаний струн, или для передачи электромагнитных волн по кабелям;
• для приведения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к алгебраическим уравнениям;
• для приближения непериодических функций.
Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распределения тепла в твердом теле, а в 1822 опубликовал работу «Аналитическая теория тепла», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. "Аналитическая теория тепла" Фурье и примененные в ней методы стали основой для создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых других общих проблем математического анализа. Фурье доказал, что всякую произвольно начерченную линию, составленную из отрезков дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением. Хотя Фурье и не доказал, что любую функцию можно разложить в тригонометрический ряд, но его попытки осуществить такое разложение были толчком к ряду исследований по этой проблеме. В последствии это привело к открытию нового метода анализа сигналов – Фурье анализа.
Основное применение Фурье анализа – это приближение непериодических функций с помощью периодических функций. В качестве примера приближения непериодической функции можно использовать детерминированную функцию времени , которую называют сигналом и которую нужно аппроксимировать с помощью выбранных подходящим образом периодических функций. Детерминированный сигнал является функцией, которая известна точно для всех моментов времени. Примерами детерминированных сигналов являются

или

Любую...

Одной из тем, рассматриваемых в курсе математического анализа, является разложение функций в ряд Фурье. В основе этой теории лежит предположение о том, что любая сложная функция может быть представлена в виде сумы простых функций, такими функциями являются косинус и синус. Именно теория разложения различных видов функций является основой Фурье анализа и синтеза функций. Данная тема имеет очень важное значение, так как с помощью теоретических сведений полученных в результате ее изучения можно решать довольно широкий круг практических задач.
В данной курсовой работе будет рассмотрена теория разложения трех основных видов функций: конечный дискретный ряд, непрерывная периодическая функция, непрерывная апериодическая функция. Также будет показано, как для каждого из трех типов сигналов можно найти коэффициенты разложения Фурье и как по полученному разложению построить график функции.
В конце работы будет представлено два приложения, в одном из которых будут приведены примеры как прямых, так и обратных преобразований Фурье, а во втором показана программа, написанная на С++, для вычисления коэффициентов Фурье конечного дискретного ряда.

В данной курсовой работе мы рассмотрели основные вопросы, связанные с анализом Фурье и синтезом функций. Показали, что любую сложную функцию можно разложить на сумму косинусов и синусов, тем самым подтвердили утверждение, высказанное в начале работы. Убедились, что существует три типа сигнала и для каждого из них есть как прямое, так и обратное преобразование Фурье, что в итоге было резюмировано в таблице на странице 14. Также узнали, что среднеквадратичное значение сигнала или средняя мощность, может быть разложена на составляющие, даваемые каждой гармоникой в отдельности. В последствии мы показали, что на этом свойстве основано построение спектров функций, графиков, отражающих присутствующие частотные со-ставляющие.
Немаловажное значение имеют приложения представленные в конце работы, в которых были реализованы теоретические сведения, полученные в ходе работы.
Следует отметить, что остался еще очень широкий круг неисследованных вопросов, касающихся как Фурье анализа, так и непосредственно связанных с ним теоретических и практических методов решения различных задач. Таким образом, исследования, проведенные в данной работе являются только первым шагом на пути изучения вопросов связанных с этой темой.