Квадрики в аффинном пространстве

Аффинной геометрией называется наука, которая изучает свойства фигур аффинного пространства , инвариантные относительно любых аффинных преобразований.
Квадрикой в аффинном пространстве называется множество точек, координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени.
Цели работы – рассмотреть теорию квадрик в аффинных n-мерных пространствах, а также рассмотрение примеров решения задач на квадрики в аффинных n-мерных пространствах. Цель обусловила решение следующих задач:
Задачи:
- рассмотреть аксиоматику аффинных пространств путем определения аффинного пространства, аксиом откладывания вектора (система аксиом Вейля);
- ввести понятие аффинных преобразований;
- ввести понятие квадратичной формы;
- рассмотреть приведение квадратичной формы к каноническому виду;
- ввести классификацию квадрик в аффинных пространствах, рассмотреть их применение на конкретных примерах;
- написать программу для приведения квадратичной формы к каноническому виду;
В работе использованы следующие определения: определение векторного пространства, линейное отображения, определение аффинного пространства, аффинной системой координат, определение аффинного преобразования, понятие группы преобразований, определение квадратичной формы, линейного преобразования переменных, канонического и нормального вида квадратичной формы, определение закона инерции квадратичных форм, определение квадрики. Также в работе приведена классификация квадрик.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников и литературы. В первой главе речь идет о аффинном пространстве и аффинных преобразованиях. Во второй главе вводятся квадратичные формы и квадрики.

Определение аффинного пространства. Пусть дано некоторое множество, элементы которого мы будем называть точками и обозначать большими латинскими буквами: А, В,…, М, N…
Пусть также дано некоторое действительное n-мерное векторное про-странство .
Будам считать, что любым двум точкам М и N, взятым в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор пространства .
Вектор, соответствующий упорядоченной паре точек М и N, обозначается через ; в этом случае говорят, что точка N получается при откладывании вектора от точки М.
Один и тот же вектор может соответствовать различным парам точек. Запись

означает, что , , и являются одним и тем же вектором пространства .
Непустое множество точек называется n-мерным действительным аф-финным пространством, если указанное соответствие между упорядоченными парами точек этого множества и векторами пространства удовлетворяет следующим аксиомам.

IV. Аксиомы откладывания вектора

Аксиома IV1. Для любой точки М и любого вектора существует одна и только одна точка N такая, что .
Аксиома IV2. Для любых трех точек М, N и К имеет место соотношение
.

Будем обозначать n-мерное действительное аффинное пространство через . Пространство , векторы которого сопоставляются парам точек из , назовем связанным с пространством .
Точки аффинного пространства и векторы связанного с ним векторного пространства могут иметь самую различную природу. Требуется лишь, чтобы операции сложения векторов, умножения вектора на число и откладывания вектора обладали свойствами, перечисленными в сформулированных выше аксиомах I, II, III, IV групп.
Эта система аксиом была предложена известным немецким математиком Германом Вейлем и называется системой аксиом Вейля.Аффинное пространство и элементарная геометрия. Легко видеть, что все аксиомы Вейля для трехмерного аффинного пространства выполняются и в элементарной геометрии (но являются там теоремами). В этом случае векторным...

В работе рассмотрена теория многомерных аффинных пространств, которые имеет практическое применение при решении различных задач в указанных пространствах.
В курсовой работе мною рассмотрена аксиоматика аффинного n-мерного пространства, введено понятие аффинных преобразований, заданных в координатах. А так же рассмотрены приведение квадратичной формы к нормальному виду,. Рассмотрена классификацию квадрик и приведены примеры решения задач на приведение квадрик к нормальному виду, написана программа на искусственном языке программирования Maple для приведения квадратичной формы к каноническому виду (для двумерных аффинных пространств).
Таким образом, цель достигнута, а поставленные задачи работы решены.