Математика мыльных пузырей

На сегодняшний день мыльные пузыри становятся модными объектами. Из веселого развлечения для детей они превращаются в элемент технологии праздника и способом украшения крупных праздников. "Сегодня ФАНТАСТИЧЕСКОЕ ШОУ МЫЛЬНЫХ ПУЗЫРЕЙ является одним из самых дорогих проектов мировой развлекательной индустрии" - пишут в газетах и журналах. Мы имеем дело с интереснейшим объектом с точки зрения математики и физики, изучая свойства которого мы можем не только развлекаться, но и понимать глубже, как устроен мир, в котором мы живем. Например, известно, что мыльные пузыри также являются математической иллюстрацией проблемы минимальной поверхности. Несмотря на то, что с 1884 года известно, что мыльный пузырь имеет минимальную площадь поверхности при заданном объеме, только в 2000 году было доказано, что два объединенных пузыря также имеют минимальную площадь поверхности при заданном объединенном объеме. Эта задача была названа теоремой двойного пузыря.
Следовательно, мыльный пузырь является уникальным объектом, содержащим внутри неразгаданные загадки физики, химии, математики. Попробуем приоткрыть тайны мыльного пузыря как математического объекта.

Как соединить два мыльных пузыря так, чтобы суммарная площадь поверхности с площадью перегородки была наименьшей? Ответ на этот вопрос был дан лишь в 2000 году. Но это только для двух мыльных пузырей. Тот же вопрос для трех и более пузырей до сих пор остается открытым. Немногим лучше обстоит дело и в плоском случае. Несмотря на все достижения математики, геометрия пузырьковых соединений остается очень сложной задачей.
Интуитивно кажется очевидным, что решением задачи для двух слипшихся пузырей будут два «слипшихся круга», но доказать это со всей строгостью математикам удалось лишь в 1993 году. Аналогичная задача для трех участков заданной площади поддалась математикам лишь в 2004 году.
Вопрос о форме кластера, охватывающего четыре или больше участков плоскости заданной площади и делающий суммарный периметр наименьшим, до сих пор остается открытым. Конечно, эту задачу можно попытаться решить на компьютере (см. рисунок ниже), но никогда нельзя быть абсолютно уверенным в том, что компьютер нашел самую реалистичную структуру. Кто знает, может быть существует кластер очень хитрой геометрии с еще меньшим суммарным периметром, который компьютер просто «не заметит»?

Еще более удивительна история поиска минимальных поверхностей в трехмерном пространстве — то есть таких замкнутых фигур, которые, охватывая N заданных объемов, имеют наименьшую площадь поверхности (опять же, тут учитываются как наружные стенки, так и внутренние перегородки). Интуиция подсказывает, что для N = 1 это будет просто сфера, для N = 2 — как бы два слипшихся мыльных пузыря, для N = 3 — три пузыря, слипшихся в виде равностороннего треугольника (если соединить между собой центры трех сфер) и т. д. Однако доказать это математически строго оказывается еще более трудным занятием, практически невозможным.
Например, строгое доказательство того, что при заданном объеме сфера действительно обладает минимальной площадью среди всех поверхностей, было дано в 1884 году. Задача для N = 2 была решена только в...

Несмотря на большое количество разного рода сведений о мыльных пузырях, обязательно найдутся «белые пятна», требующие дальнейших исследований. Есть много других, не рассмотренных в данной работе, задач о мыльных пузырях, экспериментальных и теоретических. Причем в изопериметрических задач строго доказанные теоремы о наименьших площадях для трех и более объединившихся мыльных пузырей оказались бы полезными. Мыльный пузырь как объект исследования в математике и физике помог бы изучить множество явлений в природе через абстрактные модели.