Исследование характера устойчивости уравнений Хилла

2.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
В данной курсовой работе мной рассматривается вопрос устойчивости решений уравнения Хилла при разных значениях параметров и потенциала.
Возмущённое движение многих систем описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка:
, (1)

где p(t) – периодическая функция периода T.
Разложим функцию p(t) в ряд Фурье:

, (2)

Теперь уравнение (1) примет вид:

(3)

Уравнение, записанное в таком виде, впервые рассматривалось Г.В.Хиллом при исследовании движения Луны.
Для наших целей уравнение Хилла удобно записать в следующей форме:

, (4)

где - некоторые параметры, а - периодическая функция периода .
Функцию называют функцией возбуждения, а её частоту - частотой возбуждения.
5.ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ.

Сведём уравнение к системе двух уравнений первого порядка:


Будем искать решения этой системы и , удовлетворяющие начальным условиям
и
явным методом Эйлера.
Явный метод Эйлера – это приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
Метод заключается в том, что рассматриваемый отрезок делят на частей с шагом и получают узлы сетки.
Затем находят сеточное решение в этих узлах.

Проблемы устойчивости возникли впервые в механике при изучении равновесных положений системы.
Теория устойчивости движения широко применяется в физике, астрономии, химии и даже биологии. Особо важное значение теория устойчивости движения имеет для техники. Корабль, самолёт, ракета при своём движении должны устойчиво сохранять заданный курс. Турбины, генераторы должны устойчиво сохранять заданный режим работы. Гироскопический компас должен устойчиво показывать направление меридиана и т.п.
Рассмотренные в данной курсовой работе уравнения Хилла имеют большое значение при исследовании характера колебаний в контуре с переменной ёмкостью.

В заключение отмечу, что теория устойчивости движения ещё далека от завершения. Она продолжает развиваться, охватывая всё более широкий круг вопросов. В её разработке принимают участие много учёных различных стран. Перечислить все имена практически невозможно, но некоторые из них будут названы в тексте моей работы.

5.3. Результаты исследований.

В результате наших исследований можем прийти к выводу, что при постоянном потенциале изменяя параметры и , решение уравнения Хилла можно сделать устойчивым и неустойчивым. Например, при , ; , ; , возмущённое движение будет неустойчивым. Таким образом, можно заметить, что графики неустойчивого решения будут периодически возрастать, что соответствует нашим теоретическим данным (рисунок 1). А, например, при , ; ; решение будет устойчивым. Следовательно, графики траекторий будут периодическими, не противоречащими рисунку 2 из теории.


5.4. Анализ полученных результатов.

Анализируя полученные результаты, мы можем заметить, что между параметрами и существует зависимость, определяемая диаграммой Айнса-Стретта (рисунок 3). Если мы произвольным образом возьмём на диаграмме параметры и (на рисунке им соответствуют и ): например, , , то получим точку из области неустойчивости, что удовлетворяет проведённым нами исследованиям.
А если, например, , то точка будет принадлежать области устойчивости, что также совпадает с нашими результатами.