Сравнительный анализ численных методов

Моделирование самых разнообразных процессов приводит к необходимости решать дифференциальные уравнения.
Одной из основных математических задач, которую приходится решать для таких уравнений, является задача Коши (начальная задача). Чаще всего к ней приходят тогда, когда известно начальное состояние физической величины системы в некоторый момент времени t0 (x0,y0) и требуется предсказать её поведение в момент времени t>t0 (x>x0).
Подавляющее большинство возникающих на практике начальных задач невозможно решить без использования вычислительной техники. Поэтому в инженерных и научно-технических расчётах численные методы решения задачи Коши играют особую роль.
Решением обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка является функция y , которая при подстановке в уравнение , превращает его в тождество.

На сегодняшний день особой популярностью пользуется компьютерное моделирование. Одной из разновидностей компьютерного моделирования является математическое моделирование на ЭВМ, которое представляет собой метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближённых описаний на языке математики – математических моделей.
На практике, как правило, решение задачи не удаётся выразить через входные данные в виде конечной формулы. Существуют специальные методы, которые называются численными. Они позволяют свести получение численного значения решения к последовательности арифметических операций над численными значениями входных данных.
В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода может потребоваться выполнить от нескольких десятков до многих миллиардов действий, поэтому без быстродействующей ЭВМ явно не обойтись.
Численные методы сами по себе являются приближёнными, то есть даже при отсутствии погрешностей во входных данных и при идеальном выполнении арифметических действий они дают решение исходной задачи с некоторой погрешностью, называемой погрешностью метода. Это происходит потому, что численным методом обычно решается некоторая другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу.
Предпочтение отдаётся методу, который реализуется с помощью меньшего числа действий, требует меньше памяти ЭВМ и, наконец, является более простым, что способствует более простой его реализации на ЭВМ.
Широкое применение ЭВМ в математическом моделировании, разработанная теория и значительные практические результаты позволяют говорить о новой технологии и методологии научных и прикладных исследований. Серьёзное внедрение вычислительного эксперимента в инженерную деятельность лишь начинается, но там где оно происходит реально (в авиационной и космической промышленности) его плоды весьма весомы.

Решение серьёзной инженерной задачи с использованием ЭВМ довольно сложный процесс.
Его можно разбить на ряд этапов:
1 постановка проблемы
2 выбор и строение математической модели
3 программирование
4 использование результатов и коррекция математической модели
В данной курсовой работе я приобрела навыки в построении математической модели поставленной задачи. Изучила ряд численных методов, которые помогли мне находить решение данной задачи несколькими способами.