Методы численного интегрирования и дифференцирова-ния функций, delphi 7.0, метод симпсона, mathcad 13, график функции

ВВЕДЕНИЕ 6
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 8
1.1 Постановка задачи 8
1.2 Математическая модель и методы решения задачи 9
1.3 Блок-схема алгоритма решения задачи 12
2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 14
2.1 Решение поставленной задачи в Delphi 14
2.1.1 Описание интерфейса программы в среде Delphi 14
2.1.2 Тексты основных модулей и вид форм приложения 15
2.1.3 Графическое представление результатов 17
2.2 Решение поставленной задачи средствами MathCad 21
2.2.1 Тексты программ в MathCad 22
2.2.2 Графическое представление результатов 24
2.3 Анализ полученных результатов 25
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 28
ПРИЛОЖЕНИЯ 29

Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла посредством ряда значений подынтегральной функции.
Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д.
Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.
Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции полиномом степени. Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие.
Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции сплайном-кусочным полиномом.
В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.
Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.
Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества разбиений отрезка. Однако при этом возрастает погрешность округления за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.
Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины частичного отрезка.
При решении ряда актуальных физических и технических задач встречаются определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определенными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.
Цель курсовой работы является разработать алгоритм и приложение в Delphi для решения задачи методом Симпсона....

В данной курсовой работе требовалось решить задачу численного интегрирования и дифференцирования методом Симпсона с помощью информационных технологий. Для достижении цели ставились задачи по проведению анализа поставленной задачи, разработке алгоритма и представлении его в виде блок-схемы, разработке программы в среде Delphi, решении поставленной задачи с помощью программного пакета MathCad и проведении анализа полученных результатов. Все поставленные задачи были выполнены в курсовой работе.
Таким образом, очевидно, что при вычислении определенных интегралов методом Симпсона не дает нам точного значения, а только приближенное.
Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции), тем точнее результат получаемый машиной. При этом число итераций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.
В результате курсовой работы было разработано приложение в среде визуального программирования Delphi 7.0 для вычисления определенных интегралов методом Симпсона. А также данный алгоритм был реализован с помощью средств программного пакета – MathCad 13. Разработанный алгоритм был полностью исследован. Полученные данные проанализировались и погрешность в расчетах не была выявлена и равна 0.
В практической части курсовой работы показаны результаты применения изложенных теоретических аспектов. Создана программа на языке Delphi, демонстрирующая решение задач численного интегрирования и дифференцирования, в частности нахождение определенного интеграла методом Симпсона. Кроме этого рассчитано значение интеграла для различных шагов разбиения, построен график зависимости значения интеграла от количества шагов разбиения.