Контрольная работа по Высшей математике института ЮУрГУ, Сходимость рядов, Теория вероятности. Вариант 12

Задание 1
Исследовать на сходимость ряды:
А)Проверим необходимый признак сходимости ряда
Б)Применяем признак Даламбера
В)Применяем радикальный признак Коши .
Г)Используем первое условие признака Лейбница
Задание №2
Вычислить сумму ряда с точностью α=0,01
Задание №3
Найти область сходимости функционального ряда
Задание №4
Найти lim, используя разложение функции в степенной ряд.
Задание № 5
С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближённо интеграл с точностью до 0,0001 взяв необходимое число слагаемых.
Задание № 6
Найти несколько первых членов разложения в степенной ряд решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
Задание №7
Разложить в ряд Фурье в интервале [-π;π] функцию.
Задание № 8
Разложить функцию в ряд Фурье, заданную графиком.
Теория вероятности

Задание № 1

a)Известно, что в каждом испытании вероятность появления события А равна р = 0,3, n = 5, m = 2. Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится: а) ровно m раз; б) не менее m раз; в) не более m раз; г) хотя бы один раз.
Решение:
а) Если событие А появится в ходе испытаний появится ровно 2 раза, то используя формулу Бернулли, получаем:
P5(2) = C_5^2 p^2 (1-〖p)〗^(5-2)=5!/2!3!∙〖0.3〗^2∙〖0.7〗^3= 10∙0.09∙0.343= 0,309
б) Если событие А появляется не менее 2 раз, то это событие появляется либо 2 раза, либо 3, 4 или 5 раз, следовательно, P(А) = P5(2) + P5(3) + P5(4) + P5(5)
P5(3) = C_5^3 p^3 (1-〖p)〗^(5-3)=5!/3!2!∙〖0.3〗^3∙〖0.7〗^2= 10∙0,027∙0.49= 0,132
P5(4) = C_5^4 p^4 (1-〖p)〗^(5-4)=5!/4!1!∙〖0.3〗^4∙〖0.7〗^1= 5∙0,0081∙0.7= 0,028
P5(5) = C_5^5 p^5 (1-〖p)〗^(5-5)=5!/5!0!∙〖0.3〗^5∙〖0.7〗^0= 15∙0,1296∙0.16= 0,00243
P(А) = 0,309+ 0,132 + 0,028 + 0,00243= 0,47143
в) Если событие А появляется не более 2 раз, то это событие появляется либо 1 раз, либо 2 раза, следовательно, P(А) = P5(1) + P5(2)
P5(1) = C_5^1 p^1 (1-〖p)〗^(5-1)=5!/1!4!∙〖0.3〗^1∙〖0.7〗^4= 5∙0,3∙0,2401= 0,36
P(А) = 0,309+ 0,36= 0,669
г) Если событие А появляется хотя бы один раз, то это событие может появиться в ходе 5-ти испытаний либо 1 раз, либо 2 раза, либо 3 раза, либо 4 раза или 5 раз и т.д. следовательно, P(А) = P6(1) + P64(2) + P6(3) + P6(4) + P6(5) + P6(6)
P(А) =0,36 + 0,309+ 0,132 + 0,028 + 0,00243= 0,83143
Ответ: 0,309; 0,47143; 0,669; 0,83143