Применение нестандартных методов при решении уравнений и неравенств.

Может ли при каком-нибудь значении а уравнение
2x8 – 3аx6 + 4x4 – аx2 = 5 (С1 ЕГЭ 2013г.)
иметь 5 корней?
Решение. Обозначим f(x) = 2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2. f(x) – функция четная, поэтому, если x0 – корень данного уравнения, то -x0 – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ? 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.
Ответ: не может

Метод основан на нахождении ОДЗ функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Уравнения и неравенства математики умели решать очень давно. Так в «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта в 3 веке нашей эры еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых при помощи составления уравнений. Была в ней такая задача:
«Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96».
Чтобы избежать решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой и которое тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа 10 + х и 10-х (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение 100-х2 = 96, для которого указывал лишь положительный корень 2.
Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н. э.
Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммеда аль-Хорезми . В нем рассмотрены и решены (в геометрической форме) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. При этом рассматривались только положительные корни уравнений.
В работах европейских математиков XIII -- XVI вв. даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов в общее правило произвел немецкий математик Михаэль Штифель (1487 -- 1567), который рассматривал уже и отрицательные корни.

Вывод:
Для решения иррациональных уравнений можно применят различные нестандартные способы:
1. Введение новой переменной;
2. Домножение на сопряженное выражение;
3. Введение тригонометрической подстановки;
4. Использование монотонности функций; метод оценки левой и правой частей уравнения.
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что не всегда нужно искать область допустимых значений переменной, иногда проще в конце решения сделать проверку или следить за равносильностью преобразований.
________________________________________
Рассмотренные методы и приемы решения иррациональных уравнений и неравенств позволяют решать огромное количество различных заданий из ЕГЭ 2013г.