Элементы теории комплексных чисел

Построение поля комплексных чисел
Под системой комплексных чисел понимают минимальное поле, кото-рое является расширением поля действительных чисел и в котором есть элемент с условием . В качестве первичных принимают следующие термины:
а) – множество, его элементы называют комплексными числами;
б) – сложение и умножение – бинарные операции на ;
в) 0, 1 и – элементы ;
г) – подмножество , его элементы называются действительными числами;
Алгебраическая форма комплексного числа
Перейдем к рассмотрению свойств комплексных чисел, которые обычно обозначаются буквами греческого алфавита и др.
Найдем произведение , то есть можно записать:
Тогда справедлива запись
которая называется алгебраической формой комплексного числа
В записи называют действительной частью комплексного числа - мнимой частью комплексного числа и обозначают: (от латинских слов Realis (вещественный, действительный) и Imagi-narius (мнимый)).
Например, для числа действительная часть равна 3, мнимая равна 2; для числа действительная часть равна 6, мнимая часть равна -1.
Сопряженные числа
Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются только знаком мнимой части.
Если то - число, сопряженное к числу
Например, сопряженным к числу будет число , а к числу будет число
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей этого числа.
Если , то :- модуль комплексного числа
Геометрическая интерпретация комплексных чисел и операций над ними
Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему коорди¬нат. Каждое комплексное число можно рассматривать как упорядочен¬ную пару действительных чисел. Сопоставляя каждой такой паре точку координатной плоскости с соответствующими координатами, получаем взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками этой плоскости, которая называется комплексной...

В настоящее время происходит значительное расширение содержания курса математического образования в общеобразовательной школе.
Множество комплексных чисел значительно расширяет диапазон возможных значений корней квадратного, кубического и т.д. уравнений. Также широкая область применения комплексных чисел в самых различных областях Математики вызывает повышенное внимание в области форм записи комплексных чисел, их геометрической интерпретации, выполнения арифметических действий над комплексными числами и многое другое, что и представляет особый интерес в исследовании комплексных чисел и их различном применении к решению математических задач.
Целью работы является изучение основных свойств комплексных чи-сел и их практическое применение.
Для успешной реализации поставленной цели необходимо решить ряд следующих задач:
1) изучить и проанализировать научную, научно-методическую и учебную математическую литературу по проблеме исследования;
2) рассмотреть основные свойства комплексных чисел;
3) применить полученные знания при практическом решении матема-тических задач с использованием основных свойств комплексных чисел.
Основной вклад в изучение комплексных чисел в свое время внесли Джироламо Кардано (1545г.) – он был одним из первых ученных оперировавшим комплексными числами; Альберт Жирар (1629г.), уделял комплексным числам большое внимание; Рене Декарт, именно он дал геометрическую интерпретацию отрицательных чисел; Эйлер (1749г.) установил формулу Муавра; применению комплексных чисел в дифференциальном и интегральном исчислении положили начало Готфрид Вильгельм Лейбниц и Иоганн Бернулли; Даламбер ввел понятие «модуль» и «аргумент» комплексного числа и многие другие ученные.

Таким образом, цель исследования – изучение основных свойств комплексных чисел и их практическое применение при решении задач достигнута. Её удалось реализовать посредством разрешения поставленных задач, а точнее:
1) изучение и анализ научной, научно-методической и учебной специализированной литературы по проблеме исследования;
2) исследование основных свойств комплексных чисел;
3) применение научных знаний и материалов при практическом осу-ществлении решения математических задач с использованием основных свойств комплексных чисел.
Именно поэтому, ориентируясь на особенности психологического восприятия специализированной информации по математике изложение материала, было построено следующим образом:
 построение поля комплексных чисел;
 алгебраическая форма комплексного числа;
 сопряженные числа;
 модуль комплексного числа;
 геометрическая интерпретация комплексных чисел и операции над ними;
 тригонометрическая форма комплексного числа;
 формула Муавра;
 извлечение корня - ой степени из комплексного числа;
 корни - ой степени из единицы;
 первообразные корни.
Подводя итог всего выше сказанного, логика построения материала, касаемого комплексных чисел оправдана, исходя из необходимости расширения поля .
Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Естественно, что в качестве новых чисел – комплексных – берут упорядоченные пары действительных чисел, т.к. геометрические образы таких чисел следует искать не на прямой, а на плоскости.
Итак, материалы проведенного исследования могут быть использованы в дальнейшей профессиональной деятельности при подготовке различного рода докладов выступлений, а также при разработке факультативных и внеклассных занятий по математике в школьной практике.