Теорема Штейнера

1. Теорема Штейнера
Задача 1.
Даны два параллельных отрезка АВ и CD. Разделить их пополам.
Задача 2.
Зная середину отрезка АВ, провести ему параллель из данной точки С.
Задача 3.
Дан параллелограмм ABCD. Провести через его центр параллель одной из сторон.
Задача 4.
Дан параллелограмм ABCD. Через данную точку Р провести параллель прямой G.
Задача 5.
На прямой DE от данной точки D отложить отрезок, равный данному отрезку АВ.
Задача 6.
Через данную точку провести перпендикуляр к данной прямой.
Задача 7.
Определить точку пересечения данной прямой G и окружности, заданной положением центра О1 и длиной радиуса, равной данному отрезку АВ.
Задача 8.
Дан отрезок АВ. С помощью односторонней линейки построить третью, четвёртую, пятую часть этого отрезка, если на чертеже уже имеется отрезок СD, параллельный АВ.
Задача 9.
Из данной точки А вне данного круга провести секущую так, чтобы её внешняя часть была равна внутренней.
Задача 10.
Через данную точку внутри круга провести хорду, делящуюся в данной точке на равные части.
Задача 11

Дан ΔАВС; требуется построить три окружности так, чтобы каждая из них касалась двух других окружностей и двух сторон треугольника (задача Мальфатти).
Задача 12. Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при основании α и разность двух других сторон d.
Задача 13. Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при вершине α и отношение боковых сторон λ, λ ≠ 1.

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» – эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.
Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.
Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение. Такие задачи успешно могут быть связаны с новыми идеями школьного курса геометрии (преобразованиями, векторами).
Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй столько материала...

1. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение. М.: Учпедгиз. 1950, 177с.
2. Зетель С.И. Геометрия линейки и геометрия циркуля. М.: Учпедгиз. 1950, 109с.
3. Белошистая, А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии / А. В. Белошистая // Математика в школе. – 2002. – №9. – С. 47-50.
4. Геометрия: доп.главы к шк.учеб.8 кл.: учеб.пособие для учащихся шк.и классов с углубл.изуч.математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.
5. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2004.
6. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1992.
7. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк / Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 1991.
8. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.: учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995.
9. Изучение личности школьника / под. ред. Л.И. Белозеровой. – Киров, Информационный центр, 1991.