Решение задачи при помощи системы дифференциальных уравнений на плоскости

Задачи преследования являются типичными примерами дифференциальных игр. Теория дифференциальных игр рассматривает задачи оптимального управления объектом в конфликтных ситуациях, а также в ситуациях, когда на объект воздействует помеха, играющая роль одного из игроков. В ряде случаев задача состоит в нахождении оптимального гарантированного управления объектом, обеспечивающего оптимальный гарантированный результат, который может достичь игрок при наиболее неблагоприятных действиях соперника.Основоположником теории дифференциальных игр стал Р.Айзеке, впервые определивший понятие "дифференциальная игра". В 1951 году Р. Айзексом были получены первые результаты по дифференциальным играм. В нашей стране динамические задачи конфликтного управления рассматриваются с 1965 года. Первые работы в этой области принадлежат Н.Н. Красовскому, Л.С. Понтрягину и JI.A. Петросяну, заложившим основу развития теории дифференциальных игр в СССР и в постсоветском пространстве. В этих работах исследовались антагонистические дифференциальные игры, моделирующие конфликт между двумя сторонами, имеющими противоположные интересы.В развитие дифференциальных игр внесли свои результаты Р. Айзеке, А.А. Азамов, Э.Г. Альбрехт, М. Барди, В.Д. Батухгин, Е.Н. Баррон, Т. Башар, Р. Беллман, Ю.И. Бердышев, Н.Д. Боткин, М.С. Габриэлян, H.JT. Григоренко, М.И. Гусев, В.Г. Гусейнов, Н.Н. Данилов, В.И. Жуковский, В.В. Захаров, М.И. Зеликин, А. Земба, Н. Калтон, А.Ф Клейменов, А.Н. Красовский, Н.Н. Красовский, Дж. Лейтман, П.Л. Лионе, А.А. Меликян, А.В. Мезенцев, Е.Ф.Мищенко, М.С. Никольский, В.В. Остапенко, B.C. Пацко, Н.Н. Петров, Л.А. Петросян, Г.К. Пожарицкий, B.C. Половинкин, JI.C. Понтрягин, Б.Н. Пшеничный, Б.Б. Рихсиев, И.С. Раппопорт, НЛО. Сатимов, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, Г.В. Томский, В.Н. Ушаков, У. Флеминг, А. Фридман, А.Г. Ченцов, Ф.Л. Черноусько, А.А. Чикрий, B.C. Чистяков, Л.П. Югай и другие.Обобщением дифференциальных игр преследования двух участников являются дифференциальные игры с...

Во второй главе осуществляется решение следубющей задачи:
Четыре черепашки ниндзя сидят по углам квадрата со стороной А. Черепашка, сидящая в 1-м углу, решила сходить в гости к черепашке, сидящей в углу №2 , черепашка №2- сходить в гости к черепашке, сидящей в углу №3, третья - к четвертой, и четвертая- к первой. Движение они начали одновременно. Но, сделав первый шаг, они обнаружили, что их цель тоже куда-то пошла. И вот таким курсом, 1-я на 2-ю, 2-я на 3-ю, 3-я на 4-ю, 4-я на 1-ю, они стали двигаться. Скорость каждой черепашки равна V Где и когда они встретятся? По какой линии они будут двигаться (аналитический вид траектории)?

Для решения дифференциальных игр используется математический аппарат системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости.
В настоящей работе была решена задача простого кругового преследования при помощи систем дифференциальных уравнений.
В работе была построена математическая и компьютерная модель рассматриваемой задачи.
Построенная EXCEL-модель процесса сближения черепашек позволяет проследить их траектории не только для одинаковых, но и для разных начальных скоростей. Возможно исследование дискретного варианта кругового сближения, при скоростях по модулю – порядка длины стороны квадрата.
С определённого момента начинается «зацикливание» траекторий в квадрат, со стороной, равной по модулю начальным скоростям черепашек. При разных начальных скоростях, по модулю – порядка длины стороны квадрата, наблюдается сначала встреча первой и второй пар черепах по отдельности, с последующим совместным сближением к центру квадрата. Задав координаты начальных точек – вершин квадрата и формулы перехода к новым координатам, мы построили график траектории каждой черепашки. Далее мы нашли корни полученного уравнения и доказали правильность построенной компьютерной модели.