Вариант 4. Геометрическое истолкование задачи линейного программирования

Задачи лийного програмирования (ЗЛП).
Решить ЗЛП

графическим способом.
Решение. Для построения области допустимых решений строим в системе соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

Находим полуплоскости, в которых выполняются данные неравенства. Для этого вследствие выпуклости любой полуплоскости достаточно взять произвольную точку, через которую не проходит соответствующая граничная прямая, и проверить, удовлетворяет ли эта пробная точка ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то данное неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей пробную точку. В противном случае берется полуплоскость, не содержащая пробной точки. В качестве пробной точки часто удобно брать начало координат О(0; 0). Для нашего примера область допустипых решений – множиство точек четырехугольника ABCD.
Строим вектор с = (с1; с2) = (4; 7). Так как он необходим лишь для выяснения направления возрастания целевой функции, иногда для большей нагладности удобно строить λс(λ > 0). Перпендикулярно к вертору, с проводим линию уровня F=0. Параллельным перемещением прямой F=0 находим крайнюю точку В. в которой целевая функция принимает максимальное значение и точку А, в которой достигается минимальное значение. А=0.
Координаты точки В отпределяются системой

Сформируем расширенную матрицу:

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
Разделим строку 1 на а1,1 = 2
Получим матрицу:
,
вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на а2,1 = 7
,
разделим строку 2 на а2,2 =
,
вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на а1,2 =
,
выпишем систему уравнений по следующей расширенной матрице:


Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
Fmax = 4 * 7 + 7 * 1 = 28 + 7 = 35
Fmax = F(В) = 35.
Построим график....

Задачи лийного програмирования (ЗЛП).
Решить ЗЛП

графическим способом.
Решение. Для построения области допустимых решений строим в системе соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

Находим полуплоскости, в которых выполняются данные неравенства. Для этого вследствие выпуклости любой полуплоскости достаточно взять произвольную точку, через которую не проходит соответствующая граничная прямая, и проверить, удовлетворяет ли эта пробная точка ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то данное неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей пробную точку. В противном случае берется полуплоскость, не содержащая пробной точки. В качестве пробной точки часто удобно брать начало координат О(0; 0). Для нашего примера область допустипых решений – множиство точек четырехугольника ABCD.
Строим вектор с = (с1; с2) = (4; 7). Так как он необходим лишь для выяснения направления возрастания целевой функции, иногда для большей нагладности удобно строить λс(λ > 0). Перпендикулярно к вертору, с проводим линию уровня F=0. Параллельным перемещением прямой F=0 находим крайнюю точку В. в которой целевая функция принимает максимальное значение и точку А, в которой достигается минимальное значение. А=0.
Координаты точки В отпределяются системой

Сформируем расширенную матрицу:

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
Разделим строку 1 на а1,1 = 2
Получим матрицу:
,
вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на а2,1 = 7
,
разделим строку 2 на а2,2 =
,
вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на а1,2 =
,
выпишем систему уравнений по следующей расширенной матрице:


Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
Fmax = 4 * 7 + 7 * 1 = 28 + 7 = 35
Fmax = F(В) = 35.
Построим график....

Задачи лийного програмирования (ЗЛП).
Решить ЗЛП

графическим способом.
Решение. Для построения области допустимых решений строим в системе соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

Находим полуплоскости, в которых выполняются данные неравенства. Для этого вследствие выпуклости любой полуплоскости достаточно взять произвольную точку, через которую не проходит соответствующая граничная прямая, и проверить, удовлетворяет ли эта пробная точка ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то данное неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей пробную точку. В противном случае берется полуплоскость, не содержащая пробной точки. В качестве пробной точки часто удобно брать начало координат О(0; 0). Для нашего примера область допустипых решений – множиство точек четырехугольника ABCD.
Строим вектор с = (с1; с2) = (4; 7). Так как он необходим лишь для выяснения направления возрастания целевой функции, иногда для большей нагладности удобно строить λс(λ > 0). Перпендикулярно к вертору, с проводим линию уровня F=0. Параллельным перемещением прямой F=0 находим крайнюю точку В. в которой целевая функция принимает максимальное значение и точку А, в которой достигается минимальное значение. А=0.
Координаты точки В отпределяются системой

Сформируем расширенную матрицу:

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
Разделим строку 1 на а1,1 = 2
Получим матрицу:
,
вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на а2,1 = 7
,
разделим строку 2 на а2,2 =
,
вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на а1,2 =
,
выпишем систему уравнений по следующей расширенной матрице:


Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
Fmax = 4 * 7 + 7 * 1 = 28 + 7 = 35
Fmax = F(В) = 35.
Построим график....