Решение задач

В пирамиде SАВС: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек А, В, С, S. Сделать чертеж. Найти:
1) длину ребра АВ;
2) угол между ребрами АВ и АS;
3) угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;
4) площадь основания пирамиды;
5) объем пирамиды.

А (-3; 0; 0) ; В (0; -2; 0) ; С (0; 0; 1) ; S (-2; -1; 3)
Дана система линейных уравнений:



Доказать ее совместность и решить тремя способами:
1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.

РЕШЕНИЕ:
По теореме Кронекера-Капелли, данная система совместна, т.к. ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы (оба эти ранга равны 3). В этом легко убедиться: в пункте «3» (см. далее) мы вычислим определитель основной матрицы коэффициентов. Он отличен от нуля, поэтому условие Кронекера-Капелли удовлетворяется.
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса; б) студент знает только два вопроса; в) студент знает только один вопрос.

РЕШЕНИЕ:
Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать m = 3 вопроса из возможных N = 60. Интересующее нас событие – что среди
m = 3 вопросов окажется ровно k выученных (и соответственно m – k невыученных). Всего у нас n = 45 выученных и соответственно N – n = 15 невыученных вопросов.
Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0,9, второе – 0,95 и третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.