Bсследование плоских кривых в полярной системе координат

Полярная система координат позволяет нам познакомиться с красивейшими результатами математической науки.
Полярная система координат на плоскости определяется заданием точки O (полюс), луча Ох (полярная ось) и единичного отрезка. Кроме того, должен быть указан поворот луча Ох, называемый положительным. Пусть это будет поворот в направлении против движения часовой стрелки. Повороты луча, совершаемые в направлении, противоположном положительному, будем называть отрицательными.
Пусть М — произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Обозначим через ρ длину отрезка ОМ, а через φ— величину угла, образованного лучами Ох и ОМ. Числа ρ и φ такие, что ρ > и ≤ φ < 2π, именуют полярными координатами точки М. Число ρ называют первой полярной координатой, или полярным радиусом, число φ — второй полярной координатой, или полярным углом. Если точка М совпадает с полюсом, то ρ = , а полярный утол φ считаем равным нулю. Заметим, что при заданных нами условиях ρ > , ≤ φ < 2π, полярные координаты любой точки определяются однозначно.
Введение таких координат очень естественно, ведь местонахождение любой точки на земной поверхности для неподвижного наблюдателя удобно определять с помощью расстояния от наблюдателя до этой точки и направления к точке от наблюдателя (в этом случае точка, в которой находится наблюдатель, служит полюсом).
В повести Р.Л.Стивенсона «Остров сокровищ» описано, как старый пират Флинт определил местоположение закопанного клада: «Десять футов к северу от высокого дерева на склоне Подзорной Трубы».
Построение кривых, заданных полярными уравнениями, имеет некоторые специфические особенности, которые мы проиллюстрируем на примерах. Как известно, математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическим чертежом, сопровождая его короткой подписью: «Смотри!». Мы пользовались тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все...

В заключение заметим, что полярные координаты широко применяются при определении длин кривых, площадей фигур, объемов и площадей поверхностей тел вращения, а также в задачах на определение центра масс и момента инерции тела. Кривые, рассмотренные в работе, нередко возникают при решении различных задач в электротехнике, акустике, гидростатике и механике.
Нами была исследована и построена кривая ρ(φ)=4 sin φ/2. Мы определили принадлежность данной кривой к семейству роз. И при построении мы рассмотрели нашу кривую.
Логарифмическая спираль в природе и технике. В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянства давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значению, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.
В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды используется с максимальной производительностью[9, 35].
Пропорциональность длины дуги спирали радиус-вектору используют при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом. Для этого берут два квадрата, расположенных так, как показано на рисунке 65, и через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрах квадратов, причем одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая – против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т.е. отношение угловых скоростей этих колес, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.
Живые...