Интегральные уравнения

Интегральные уравнения являются одним из быстро развивающихся разделов анализа.
Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла.
Интегральные уравнения – это функциональные уравнения специаль-ного типа, история которых тесно связана с задачами математической физики, в частности с проблемой колебания твердого тела.
Теория интегральных уравнений, т.е. уравнений, в которых искомая функция находится под знаком интеграла, составляет сейчас значительный отдел математического анализа и имеет большое теоретическое и прикладное значение. Хотя отдельные интегральные уравнения встречались уже в первой половине XIX в., но систематическая их теория была заложена на рубеже XIX и XX вв. в работах итальянского математика Вольтерра (1860-1940), шведского математика И.Фредгольма (1866-1927), Д.Гильберта (1862-1943) и других математиков.
Этот предмет имеет долгую и извилистую историю и своим возникно-вением он обязан Даниилу Бернулли. В течение двух столетий усилия математиков были направлены к решению (механической, акустической, оптической, электромагнитной) проблемы колебаний среды и связанной с ней краевой задачи теории потенциала. Работа Фурье Théorie analylique de la chaleur (1822) стала вехой на этом пути. Г. А. Шварц с помощью построения основной частоты мембраны впервые доказал (1885) существование собственных колебаний для двумерного случая и более высоких размерностей. Последнее десятилетие XIX века пришлось на создание Пуанкаре его мощных теоретико-функциональных методов; вместе с К. Нейманом они вступили в схватку с гармонической краевой за-дачей;
В.Вольтерра изучал тот тип уравнений, который теперь носит его имя. Его наиболее знаменитая работа была сделана в интегральных уравнениях. Он начал это изучение в 1884 и в 1896 он опубликовал статьи, в которых есть теперь называемые «интегральные уравнения Вольтерра».
Хельге фон Кох изобрёл бесконечные определители для линейных уравнений с бесконечным числом...

В результате выполнения данной дипломной работы выполнено сле-дующее:
1. Рассмотрены некоторые физические задачи, сводящиеся к интегральным уравнениям.
2. Дан теоретический обзор основных типов интегральных уравнений.
3. Подробно разобраны основные методы решений основных типов интегральных уравнений.
4. Выполнено решение конкретного интегрального уравнения с помо-щью метода последовательных приближений и преобразований Лапласа.
К интегральным уравнениям сводятся многие задачи математические физике, поэтому данный раздел математики имеет достаточно большое прикладное и практическое значение.
При решении интегральных уравнений часто возникают определенные технические трудности. Многие интегральные уравнения не имеют аналитического решения, поэтому для решения таких уравнений можно использовать различные численные методы.