Фрактальная обработка информации

Введение

"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из при-чин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или де-ревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия..."
Б. Мандельброт
"The Fractal Geometry of Nature"

Понятия "фрактал" и "фрактальная геометрия", появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Сло-во фрактал образовано от латинского "fractus", в переводе обозначающее "со-стоящий из фрагментов". Оно было предложено Бенуа Мандельбротом (со-трудником компании IBM) в 1975 году для обозначения нерегулярных самопо-добных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 г. книги Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature". В ней он впервые заговорил о фрактальной природе наше-го многомерного мира. В его работе использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре,Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить все их результаты в единую систему. Существует большое число математических объ-ектов, называемых фракталами (треугольник Серпинского, снежинки Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта, Лоренцовы аттракторы и др.). Фрак-талы с большой точностью описывают многие физические явления и образова-ния реального мира: горы, облака, турбулентные (вихревые) течения, корни, ветки и листья деревьев, кровеностные сосуды и т.д.
«Фрактал — это слово, определенно Мандельбротом для того, что¬бы объединить под одним заголовком обширный класс объектов, кото¬рые сыгра-ли... историческую роль... в развитии чистой математики. Классическую мате-матику XIX в. от современной математики века XX отделяет великая револю-ция идей. Корни классической математики ле¬жат среди правильных геометри-ческих структур...

Фрактал - это не только чрезвычайно красивая самоподобная картинка (Cм. Рис. 17) , но это еще и удивительное явление природы, современнейший вид компьютерного искусства, передовой край трехмерной графики. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы. Фактически, найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Построение самоподобных фракталов (и некоторых других), позволяет создавать стереокартинки, различные модели миров, писать фрактальную музыку, анимировать фракталы (их движение и полет вглубь), изменять их (фрактальный морфинг). Фрактал может использоваться в психотерапии: по отзывам "фракталоманов", пять минут созерцания этого волшебства - и реальный мир становится комфортным.В данной работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов.
К сожалению, я только поверхностно знаком с применениями фракталов в механике и физике. Но можно сказать, что там они используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличее на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях. Более детально об этом рассказывается в статье "Фракталы в механике" .
«Так, например, появилась теория фрактальных трещин , модель трения для фрактальных поверхностей фрактальная механика древесно-полимерных композитов и пр. Применение фракталов к материаловедению в...