Шпаргалки по теории функции действительного переменного (ТФДП)

1. Эквивалентность множеств. Теорема Кантора-Бернштейна. Эквивалентность [a,b] и (a,b).
2. Счетные множества. Свойства счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел, многочленов с рациональными коэффициентами, алгебраических чисел.
3. Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0,1]. Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел.
4. Двоичное представление чисел отрезка [0,1].Мощность множества всех последовательностей из нулей и единиц.
5. Мощность множества всех последовательностей из натуральных чисел.
6. Мощность множества всех последовательностей из действительных чисел, множества комплексных чисел и точек n-мерного пространства.
7. Мощность множества C[a,b].
8. Теорема Кантора о мощности всех подмножеств данного множества. Гиперконтинуум.
9. Теорема о структуре открытых множеств на числовой прямой. Структура замкнутых множеств на пряиой. Совершенные множества.
10. Канторово множество.
11. Определение внешней меры. Свойства внешней меры.
12. Определение измеримого множества. Свойства измеримых множеств.
13. Определение измеримой функции. Примеры измеримых функций.
14. Классы измеримых функций.
15. Арифметические операции над измеримыми функциями.
16. Теоремы о последовательности измеримых функций.
17. Определение интеграла Лебега для простых функций. Основные свойства интеграла Лебега от простых функций.
18. Определение интеграла Лебега на множестве конечной меры. Корректность определения интеграла Лебега на множестве конечной меры.
19. Счетная аддитивность интеграла Лебега.
20. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
21. Связь интегралов Римана и Лебега.
22. Критерий интегрируемости по Риману.
23. Метрические пространства. Примеры метрических пространств.
24. Нормированные пространства. Примеры нормированных пространств.
25. Полные метрические пространства. Банаховы пространства. Примеры банаховых пространств.
26. Принцип сжимающих отображений, его применение.
27. Гильбертовы пространства. Примеры...