Существование производной в точках разрыва функции

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость
изменения функции.Функцию, имеющую конечную производную, называют
дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

В своей работе я проработала задачу из сборника задач Б. П. Демидовича о
существование конечной и бесконечной производной в точке разрыва функции.
Цель работы - изучить понятие производной, непрерывности и точек разрыва функции
и ответить на вопрос - \"Могут ли существовать конечные или бесконечные производные
в точках разрыва функции\".

Теоретический материал по этой теме достаточно хорошо освещена в различных источниках,
среди которых Г. М. Фихтенгольц - \"Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1\",
А. М, Тер-Крикоров и М. И. Шабунин - \"Курс математического анализа\",
Л. Д. Кудрявцев - \"Краткий курс математического анализа\", В. А, Зорич - \"математический анализ\".
Практическая же часть наиболее полно освещена в книге И, И, Ляшко, А. К. Боярчука,
Я. Г. Гая и Г. П. Головача \"Математический анализ: введение в анализ, производная,
интеграл\" и В. С. Шипачёва \"Высшая математика\".

Более подробно изучив понятие производной, непрерывности и дифференцируемости функции
я ответила на вопрос, поставленный в начале работы: конечная производная в точках
разрыва функции существовать не может, так как, по доказанному, если функция дифференцируема, то она и непрерывна.
Бесконечная производная в точках разрыва функции существовать может, в качестве доказательства
этого был рассмотрен пример знаковой функции sgn x, в точке x=0, в которой она
имеет правую и левую производные, обе равные + бесконечности, значит в точке x=0 существует производная,
равная плюс бесконечности. Также это означает, что в точках разрыва функции бесконечная производная существовать может.