Комплексные числа

Известно, что действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень чётной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с веществен-ными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни. Это обстоя-тельство приводит к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем которых являются вещественные числа. При этом существенно определить эти числа и действия над ними та-ким образом, чтобы для новых чисел остались в силе все основные законы действий, известные для вещественных чисел.
Известно, что всякое вещественное число графически можно изо-бразить или как отрезок, отложенный на данной оси OX, или же как точку на этой оси; обратно - всякому отрезку или точке на оси OX соответствует оп-ределенное вещественное число. Если теперь вместо одной оси OX рассмат-ривать всю плоскость, отнесённую к координатным осям OX, OY, то, обоб-щив надлежащим образом понятие о числе, мы получим возможность каж-дому вектору, лежащему в этой плоскости, или каждой её точке сопоставить некоторое число, которое можно назвать комплексным. Если условиться не различать между собой векторы, равные по длине и одинаково направлен-ные, то можно сопоставить вещественное число не только всякому вектору на оси OX, но, вообще, всякому вектору, параллельному оси OX. В частно-сти, вектору длины единица, направление которого совпадает с положитель-ным направлением оси OX, соответствует число единица. Вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OY, сопоставим символ i, называемый мнимой единицой. Всякий век-тор плоскости может быть представлен как сумма двух векторов и, парал-лельных осям координат. Вектору, параллельному оси OX, соответствует не-которое вещественное число a. Вектору, параллельному оси OY, пусть соот-ветствует символ bi, где b - вещественное число, абсолютное значение кото-рого равно длине вектора, и которое будет...

Таким образом:
 Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называют комплексными.
 Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в ал-гебраической форме производят по правилам соответст-вующих действий над многочленами.
 Сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагае-мых; слагаемые можно объединять в группы, так как таки-ми свойствами обладают сумма вещественных чисел ak и сумма вещественных чисел bk Исходя из определения сло-жения можно утверждать, что комплексное число a + bi есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа bi, т.е. a + bi = (a + 0i ) + (0 + bi ).
 Вычитание комплексного числа (a2 + b2i ) равносильно сложению уменьшаемого (a1 + b1i ) и комплексного числа (-a2 - b2i ).
 Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент - сумме аргументов со-множителей.
 При делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент част-ного равен разности аргументов делимого и делителя.
 При делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент част-ного равен разности аргументов делимого и делителя.
 Натуральный логарифм комплексного числа равен ком-плексному числу, вещественная часть которого есть обыч-ный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента.
 Комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде век-тора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).
 Существуют три формы записи комплексного числа: z = a + bi – алгебраическая форма; z = r (cos j + i sin j) – тригоно-метрическая форма; z = reij – показательная форма.
 Комплексные числа имеют широкий спектр применения в различных научных отраслях, а особенно – в экономике.