Методы квадратичной аппроксимации. Метод переменной метрики для задач условной оптимизации

Метод переменной метрики реализован в пакете Waterloo Maple 8. При расчете параметра использовался метод дихотомии одномерной минимизации на отрезке с точностью . Для выполнения 18-и итераций, в результате чего получено решение с точностью понадобилось около 12-и секунд. На рис. 1 изображены линии уровня целевой функции (заливка светлеет в сторону возрастания функции), функция ограничения, а также графическая иллюстрация итерационного процесса.
Следует отметить, что сходимость метода сильно зависит от начальной матрицы аппроксимации и слабо зависит от начального условия. Метод вычисления квазиньютоновской матрицы обеспечивает ее положительную определенность на каждой итерации алгоритма.
При далеко отстоящих точках, как, например, на рис.2 можно заметить, что алгоритм «стремится» занять множество точек, градиент целевой функции в которых наибольший, а уже потом выйти на точку – решение задачи, при чем сказанное становится актуальнее при удалении начального приближения от оптимума (см. рис. 2). Такое поведение обусловлено методом решения: вблизи кривой ограничения влияние ограничения мало и метод развивается в сторону безусловного минимума, но с удалением процесса от ограничивающей функции сказывается наличие штрафной функции, метод быстро находит точку условного минимума.
Сказанное выше также можно заметить при смещении целевой функции по оси . Итерационный процесс на третьей итерации достигает наименьшего за историю процесса значения целевой функции, а затем возвращается в точку решения (см. рис. 3 и рис.4).
Интересной особенностью метода является его поведение в случае, когда начальное приближение расположено вблизи оптимума. Как видно из рис. 5 близость к решению слабо сказывается на сходимости: имеет место тот же скачок в сторону глобального минимума целевой функции со стремлением занять траекторию на градиенте.
В случае начального приближения внутри области в нижней полуплоскости наблюдается та же картина (см. рис. 6), но предварительно происходит...

1.Д. Химмельблау. Прикладное нелинейное программирование. М.:Мир, 1975.534с.
2.Реклейтис Г., Рейвиндран А., Регсдел К. Оптимизация в технике. М.:1986 324с.
3.Зайченко Ю. П. Исследование операций: Учеб. Пособие для студентов вузов. Киев: Вища школа, 1979, 392с.