Численные методы

1.4. Метод трапеций и средних прямоугольников.

Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла — метод трапеций (Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3).



Рис. 1. Криволинейная трапеция.



Рис. 2. Метод трапеций.



Рис. 3. Метод средних прямоугольников.



По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —

для метода трапеций:

,

для метода средних прямоугольников:

.

1.5. Метод дихотомии.

Метод дихотомии (деления отрезка пополам) - гарантированно сходящийся метод, если корень локализован. Пусть корень уравнения находится на интервале

.

Шаги метода:

1. точкой отрезок разбивается на две равные части.

2. отыскиваем, на каком из двух интервалов располагается корень:

если , то корень располагается на интервале ; присваиваем если же , то корень располагается на интервале ; присваиваем .

3. если требуемая точность не достигнута, то шаг 1 повторяется для нового интервала.

Метод дихотомии имеет линейную сходимость. Это означает, что число верно найденных знаков растет линейно с количеством операций.

1.6. Метод золотого сечения.

Итак, минимум локализован точками или же , причем



Для дальнейшего анализа потребуем, чтобы точка лежала ближе к , нежели к . В интервале строится новая точка



и вычисляется соответствующее значение функции .

если

, то минимум локализован точками . Для того, чтобы в новом отрезке точка лежала...

1. Банди Б. методы оптимизации. – М.: Радио и связь, 1988. – 128 с.

2. Мельникова О.И., Бонюшкина А.Ю. Начала программирования на языке Qbasic: Учебное пособие = М.: Издательство ЭКОМ, 2000 – 304 с., ил.

3. Бирюков С.И. Оптимизация. Элементы теории. Численные методы: Учеб. пособие. — М. : МЗ-Пресс, 2003. — 248с. : рис. — (Серия "Естественные науки). — Библиогр.: с. 245-246.

4. Волков Е.А. Численные методы: Учеб. пособие. — 3.изд., испр. — СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2004. — 248с. : рис., табл. — (Учебники для вузов). — Библиогр.: с. 244.

5. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учебник для студ. высших техн. учеб. заведений / В. С. Зарубин (ред.), А.П. Крищенко (ред.). — М. : Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. — 439с. : рис., табл. — (Серия "Математика в техническом университете"; Вып.14). — Библиогр.: с. 428-432.

6. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. — 4. изд., испр. и доп. — М. : Физматлит, 2000. — 295с. : рис. — Бібліогр.: с.285-287.