Общая теория кривых второго порядка

Предметом исследования в данной работе являются так называемые кривые второго порядка. К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола.

Цель данной работы состоит в исследовании кривых второго порядка и их свойств с точки зрения различных понятий аналитической геометрии
Кривые второго порядка применяются в математике для решения различных задач и в технике для создания различных конструкций, встречаются они и в природе. Планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Траектории всех космических тел, как правило, являются коническими сечениями. Известно, что космический корабль, преодолевший сопротивление воздуха и сил тяготения у поверхности Земли, выходит на одну из трех орбит: эллиптическую, параболическую и гиперболическую. Многие поверхности, встречающиеся на практике и находящие приложения в технике, получаются при вращении того или иного конического сечения вокруг оси.

Единственными кривыми второго порядка являются: эллипсы (включая так называемые мнимые эллипсы, определяемые в надлежащей системе координат уравнениями вида ), гиперболы, параболы и кривые, распадающиеся на пару прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих); при этом прямые могут быть действительные или мнимые сопряжённые. Две мнимые прямые называются сопряжённые, если они могут быть заданы уравнениями и , в которых коэффициенты А и , В и , С и являются взаимно сопряжёнными комплексными числами; прямая в паре совпадающих прямых всегда действительна.
Рассмотрим уравнение
,
где
(1.1)
- общий многочлен второй степени.
Начальную координатную систему будем предполагать прямоуголь-ной (если бы она не была таковой, мы бы перешли к новой прямоугольной системе координат и этим преобразовали бы первоначальный многочлен в новый многочлен, тоже второй степени).

1 П.С. Александров. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. Из-во “Наука”, главная редакция физико-математической литературы. Москва 1968
2. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике.- Минск: Высшая школа, 1968
3. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики 10-11.- М: Просвещение, 1996
4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Юдина И.И. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику. 9 класс.- М: Вита Пресс, 2004
5. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 8/9.- М: Просвещение, 1995