Метод Рунге-Кутта численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие одну независимую переменную, искомую функцию u(x) и одну или несколько её производных. Например,
. (0.1)
Здесь x— независимая переменная; — i-я производная неизвестной функции u(x) , i=1, 2 , … , n; F—некоторая функция от переменных . Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком n, входящей в уравнение производной. Например, уравнения
первого и третьего порядка можно представить как
(0.2)
Если в уравнениях (0.1) и (0.2) старшую производную явно выразить
через производные более низкого порядка и независимую переменную, то
получаются уравнения, разрешенные относительно старшей производной.
Например:
(0.3)
Дифференциальные уравнения бывают линейными и нелинейными.
Линейным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция в котором неизвестная функция и её производные входят впервой степени. Примеры линейных уравнений первого порядка:

Остальные уравнения называются нелинейными.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ, как часто их называют в последнее время) находят все более широкое применение в математических моделях, разрабатываемых для моделирования процессов и явлений, происходящих в различных областях техники, науки и производства.
Например: в механике — при моделировании процессов движения объектов; в биологии — при изучении процессов роста бактерий; в ядерной физике — при изучении процессов радиоактивного распада веществ; в химии — при исследовании протекания химических реакций и работы различных реакторов; в электротехнике, в задачах оптимизации экономических и других процессов и так далее. Одним словом, ОДУ является необходимым элементом и составной частью многих разрабатываемых математических моделей различных процессов и явлений. Поэтому изучение методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений очень важно.
В этой курсовой работе будет рассмотрено типы дифференциальных уравнений, их методы численного решения разными способами и большая часть будет уделена методу Рунге-Кутта

В ходе выполнения курсовой работы выполнена цель: найти приближенное решение обыкновенного дифференциального уравнения y’=f(x,y), y(a)=y0 методами Рунге-Кутта. Также был рассмотрен метод Эйлера, который входит в семейство Рунге-Кутта.
Было выяснено, что семейство методов Рунге-Кутта является более удобным и более высоким по точности, чем метод Эйлера. Особенно высок по точности метод Рунге-Кутта 4-го порядка.