Все лекции по интегралам (в wordе с рисунками и объяснениями)

Определение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Теорема существования. 1
Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. 2
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат. 3
Определение тройного интеграла. Свойства тройного интеграла. Теорема существования. 4
Свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла. 5
Определение кратного интеграла. 8
7. Вычисление кратных интегралов. Замена переменных в кратном интеграле. 9
Применение двойных и тройных интегралов. 10
Приложения двойного интеграла 11
Приложения двойного интеграла 11
Криволинейные интегралы первого рода. Свойства. Теорема существования. Вычисление 12
Свойства криволинейного интеграла первого рода. 13
Применение криволинейного интеграла первого рода. 14
Криволинейные интегралы второго рода. Свойства. Теорема существования. Вычисление 14
Свойства криволинейного интеграла второго рода. 15
Формула Остроградского-Грина. 17
Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. 18
Применение криволинейного интеграла второго рода. 20
Площадь плоской фигуры, ограниченной кривой l: 20
Поверхностные интегралы первого рода. Свойства. Теорема существования. Вычисление 21
Свойства криволинейного интеграла первого рода. 22
Применение поверхностного интеграла первого рода. 23
Поверхностные интегралы второго рода. Свойства. Теорема существования. Вычисление 24
Свойства поверхностного интеграла второго рода. 25
Формула Остроградского-Гаусса. 27
Формула Стокса. 28
Скалярное и векторное поле. Производная по направлению и градиент. Поток, дивергенция, циркуляция. Ротор. Оператор Гамильтона. Виды полей. 29

1. Определение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Теорема существования.
Определение 1. Пусть функция z = f(x, y) = f(P), задана dв замкнутой области D плоскости Oxy. Разобьем область D на n элементарных областей Di (i = 1, 2,…,n), площади которых обозначим через Si, а диаметры (наибольшие расстояния между точками области Di) через di. Совокупность частичных областей Di назовем разбиением T области D. Наибольшую из диаметров областей Di разбиения T обозначим через , и назовем диаметром разбиения T:
 = (T) = max{di  i = 1, 2,…,n}.
Определение 2. В каждой области Di разбиения T выберем точку Pi(xi, yi), для i = 1, 2,…,n,. Сумма вида
(1)
называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D соответствующей данному разбиению T и выбору точек Pi .
Определение 3. Если интегральная сумма Sn имеет предел при   0, который не зависит от разбиения T и выбора точек Pi , то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается символом