Условия становления математического действия как инструментального (на примере понятия сокращенного умножения)

§2.3. Конкретизация типов обобщений В.В. Давыдова на материале математики
Нами были выделены следующие типы обобщений:
 обобщение путем прямой аналогии; довольно простой способ обобщения, но малоэффективный, в том смысле, что достоверность полученных результатов остается под большим вопросом;
 индуктивное обобщение; обобщение путем сравнения свойств объектов; для этого типа обобщения характерны анализ и сравнение большого количества эмпирического материала. Полученные в результате обобщения утверждения правдоподобны, но нуждаются в обосновании;
 обобщение через выявление общей структуры; содержательный тип обобщения, характеризуемый выделением некоторого общего принципа. Полученные результаты носят всеобщий характер. Для обобщения достаточно существенного анализа одного частного случая;
 обобщение через снятие ограничений, дополнительных соотношений; в ходе обобщения выделяется некоторый существенный принцип, но этот принцип не является всеобщим и применим только для данной конкретной ситуации;
 обобщение через построение модели; построение модели позволяет раскрыть природу исследуемых объектов, выявить внутренние существенные отношения. Полученные результаты носят всеобщий характер. Недостаток этого способа обобщения в сложности его осуществления.
Далее будут рассмотрены решения нескольких математических задач различными способами рассуждений. Анализ представленных решений подтверждает предложенную нами типологизацию обобщений на математическом материале.

Специалисты, рассматривающие математическую компетентность (А.М. Аронов, О.В. Знаменская, Н.Г. Ходырева, А.Я. Хинчин), понимают ёё как конкретизацию общего понятия компетентности, которое определяется как «интегральное качество личности, проявляющееся в общей способности и готовности её к деятельности, основанной на знаниях и опыте, которые приобретены в процессе обучения и социализации и ориентированы на самостоятельное и успешное участие в деятельности» [25].
Математическая компетентность принципиально отличается от традиционных образовательных результатов - знаний, умений и навыков, поскольку её существенной составляющей является способность использовать приобретенные знания как личный ресурс, как средство для решения математических задач (А.М. Аронов, О.В. Знаменская). Таким образом, традиционное обучение не может формировать математическую компетентность. Возникают вопросы: Какого рода инновации нужно ввести в образование, чтобы достичь новых образовательных результатов? Какая из существующих образовательных систем может формировать математическую компетентность?
Обратимся к деятельностному подходу в обучении математике, а именно к системе обучения Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова (несмотря на то, что теоретические положения этой системы разработаны для начальной школы).
Деятельностный подход к обучению (развивающее обучение), развивающийся в российской педагогике с 60-х годов XX века (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, Б.Д. Эльконин), ориентирован на более широкие образовательные результаты, чем знания, умения и навыки. Обучение математике в развивающем обучении строится как формирование содержательно-теоретических математических понятий через становление и развитие общего способа действия. Таким образом, основным результатом развивающего обучения является присвоение учеником общего способа действия [27].

В ходе выполнения дипломной работы были получены следующие основные результаты:
1. Проведен анализ теоретических работ, на основе которого было определено центральное понятие дипломной работы – понятие инструментального действия;
2. Конкретизированы типы обобщений В.В. Давыдова на математическом материале. Выделены два типа содержательно-теоретического обобщения. Выделен содержательно-эмпирический тип обобщения – индуктивное обобщение;
3. Разработана методика эксперимента, направленного на изучение связи инструментализации действия с типом обобщения, путем которого получен способ действия;
4. Получены следующие гипотезы об условиях становления инструментального математического действия:
 математическое действие может стать инструментальным, при условии, что оно формируется путем качественного содержательно-эмпирического обобщения (причем критическое значение показателя качества обобщения равно 3);
 существенным для инструментализации действия на самом высоком уровне является формирование способа действия путем содержательно-теоретического обобщения через построение модели средствами иной математической теории.
Результаты работы имеют практическую значимость, так как позволяют преподавателям математики прогнозировать результаты обучения. Полученные гипотезы об условиях становления математического инструментального действия могут в дальнейшем быть проверены в ходе эксперимента с большим количеством испытуемых.