Система аксиом Вейля

Аксиоматическое определение евклидова пространства по Вейлю
В аксиоматике Вейля евклидовой геометрии неопределяемыми понятиями являются точки и векторы. Именно поэтому эта аксиоматика называется иногда точечно-векторной аксиоматикой.
Вейлевская аксиоматика более простая, чем гильбертовская тесно связана с различными разделами современной математики.
Система аксиом Вейля описывает шесть основных понятий. Основные понятия – точка Т и векторы V – называются основ¬ными образами. Понятия сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного умножения векторов и откла¬дывания вектора от точки называются основными отноше¬ниями. Аксиомы Вейля распределяются на пять групп, причем аксиомы первых трех и четырех групп составляют соответст¬венно аксиоматику аффинного и евклидова векторного простран¬ства.

Традиционный путь построения геометрии, идущий от Евклида и закрепленный Д. Гильбертом в его аксиоматике геометрии является самым известным, но далеко не единственно возможным. Так, совершенно иной путь построения геометрии был предложен в 1917 г. Знаменитым немецким математиком Г. Вейлем. Герман Вейль (1885 – 1955) – член национальной Академии Наук США. Окончил Гёттингенский университет (1908). В 1913 – 1930 гг. профессор Цюрихского политехнического института, c 1930 – 1933 гг. Геттинского университета. В 1933 г. эмигрировал в США, работал в Геттингенском университете перспективных исследований, лауреат Международной премии имени Лобачевского (1927).
Наиболее значительные работы Г. Вейля – работы по теории непрерывных групп и их представлений с применениями к проблемам геометрии и физики. В знаменитом учебнике по теории относительности, вышедшем в свет в 1917 г., Г. Вейль впервые предложил аксиоматику n-мерной Евклидовой геометрии как структуры.
Аксиоматика Вейля получила название «точечно-векторной аксиоматики». И в настоящее время одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Вейлевская аксиоматика более простая, чем гильбертовская и тесно связана с различными разделами современной математики.
Исходя из сущности аксиоматического метода, в основе которого лежит некоторое число предложений, называемых аксиомами и последующий вывод всех других предложений теории при помощи лишь одних логических законов, Г. Вейль построил систему аксиом, включающую 16 аксиом, объясняющих отношения между основными понятиями.

На основе построения арифметической модели системы аксиом геометрии Вейля, убедились, что рассматриваемая нами аксиоматика является непротиворечивой. А значит, она отвечает главному требованию при построении любой системы аксиом на основе аксиоматического метода. В аксиоматике Вейля основными неопределяемыми понятиями являются точка и вектор, а значит, прямая – это понятие определяемое. Этот путь введения понятий отличается от того пути построения геометрии, который реализован в школьных учебниках геометрии, т. е. отличается от пути построения геометрии, идущего от Евклида, который определил прямую, как одно из основных неопределяемых понятий.
На основе построения арифметической модели системы аксиом геометрии Вейля, убедились, что рассматриваемая нами аксиоматика является непротиворечивой. А значит, она отвечает главному требованию при построении любой системы аксиом на основе аксиоматического метода. В аксиоматике Вейля основными неопределяемыми понятиями являются точка и вектор, а значит, прямая – это понятие определяемое. Этот путь введения понятий отличается от того пути построения геометрии, который реализован в школьных учебниках геометрии, т. е. отличается от пути построения геометрии, идущего от Евклида, который определил прямую, как одно из основных неопределяемых понятий.
Аксиоматика Вейля не изучается полностью в школьном курсе геометрии, но она тесно связана с различными разделами современной математики. Векторный метод доказательства она находит широкое применение при доказательстве многих теорем, а также при решении задач из курса планиметрии. Кроме того, этот метод находит применение при решении уравнений, неравенств и систем уравнений в алгебре. Кроме того, вектор – одно из ведущих математических понятий, которое также применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач этих наук.