Философские направления математики

Номинализм – направление в философии математики, подчеркивающее логическую и онтологическую первичность индивидуальных объектов и их свойств перед абстрактными понятиями и оформившееся в работах В. Куайна и Н. Гудмена. Номиналисты считают, что такие понятия, как класс и множество, получают строгий математический смысл только в тех пределах, в которых они могут быть определены на основе понятия элемента и операций с элементами.
Знаменитая теорема Гёделя о неполноте (если формальная арифметика непротиворечива, то она неполна) многими была воспринята как крах формализма, по крайней мере, в его первоначальной версии. Но правильный вывод был иной: эта теорема не обесценила формализм, а установила его границы.
Интуиционизм – направление в математике и её философии. Математика, согласно интуиционизму, наука об умственных построениях; критерием истинности построения должна быть его интуитивная убедительность. Интуиционисты дают следующую характеристику изначальной интуиции:
Логический конструктивизм

Б. Рассел и А.Н. Уайтхед предпринимают в «Основаниях математики» попытку под влиянием логических работ Г. Фреге свести предложения и термины математики к логике. Центральный принцип логицизма требует логического конструирования понятий, т.е. сведения всех понятий и понятийных систем к небольшому набору понятий путем дефиниций.

Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различных областях человеческой деятельности.
Есть и другая сторона данного вопроса. Математика – чрезвычайно своеобразная наука, философский анализ целого ряда положений которой весьма сложен.

Математика является наукой, стоящей как бы отдельно от всех других наук и в этом смысле она похожа с философией. Всеобщность этих двух наук, их взаимопроникновение друг в друга и взаимоиспользование ведет к развитию общества и все остальных, так называемых специальных наук. Подобно тому, как философия развивалась, обретала новые направления и идей, так и математика становилась все более развитой и всеобщей наукой.
Оформление философии математики в качестве полноценной дисциплины и осознание ее значения для судеб развития математики относятся к периоду кризиса в основаниях математики на рубеже XIX – XX веков.